2016届山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）解析版

∵直线l与圆x+y=1相切，∴

22

=1，化为m=1+k，

22

∴|MN|=，

则S△MON=|MN|×1=令1+2k=t≥1，则k=∵t≥1，∴

，∴

2

2

，

代入上式可得：＜S△MON≤

． ．

，

即△MON的面积的取值范围是

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（14分）（2016?青岛一模）已知函数f（x）=sinx﹣ax，

（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a=0时，h（x）=x（lnx﹣1）﹣f′（x），证明h（x）存在唯一极值点． 【分析】（Ⅰ）由a＜

，令g（x）=

，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g

．

（x）的最小值，从而求出a的范围；

（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而证出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＞0，得：sinx﹣ax＞0， ∵0＜x＜1，∴a＜

，

令g（x）=，g′（x）=，

令m（x）=xcosx﹣sinx，m′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx＜0， ∴m（x）在（0，1）递减， ∴m（x）＜m（0）=0，

∴g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减， ∴g（x）＞g（1）=sin1， ∴a≤sin1；

（Ⅱ）证明：∵h（x）=xsinx﹣x﹣cosx， ∴h′（x）=lnx+sinx，

x∈[1，e]时，lnx≥0，sinx＞0，∴h′（x）＞0，

x∈（e，+∞）时，lnx＞1，sinx≥﹣1，∴h′（x）＞0，

x∈（0，1）时，令y=lnx+sinx，则y′=+cosx＞0， ∴y=lnx+sinx在（0，1）递增， 由ln2＞sin，ln

＜

知：

）=ln

+sin

＞0，

h′（）=ln+sin＜0，h′（故存在x0∈（，

）使得h′（x0）=0，

且当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x0，1）时，h′（x）＞0， 综上，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，x0）递减， x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（x0，+∞）递增， ∴h（x）存在唯一极值点x=x0．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，看到导数的应用以及三角函数、对数函数的运算，是一道中档题．