初中几何辅助线大全

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（一）、平移

1、平移一腰：

例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E.

又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.

ABDCDC所以DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64. 所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8.

AEB例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

解：过点B作BM//AD交CD于点M，在△BCM中，BM=AD=4， CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5， 所以BC的取值范围是： 5－4

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

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解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得 ∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点 所以EF??11GH?(BC?BG?CH) 2211(BC?AE?DE)?[BC?(AE?DE)]2211?(BC?AD)?(3?1)?122

3、平移对角线：

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点． ∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形 ∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 ∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 ∴∠BDE=90°．

BD?ED12B

? 作DH⊥BC于H，则DH?BE5H

C

E

A

D

?S梯形ABCD?(AD?BC)?DH?25?125?6． 2例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=52，求证：AC⊥BD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E， 易得四边形BCED是平行四边形， 则DE=BC，CE=BD=52，

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所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。 在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52，

22222AC?CE?(52)?(52)?100?AE所以在△ACE中，，

从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E， 则四边形ACED是平行四边形， 即S?ABD?S?ACD?S?DCE。 所以S梯形ABCD?S?DBE

2222由勾股定理得EH?DE?DH?AC?DH

?152?122?9（cm）

BH?BD2?DH2?202?122?16（cm） 所以

S?DBE?11BE?DH??(9?16)?12?150(cm2)22，即梯形ABCD的面积

是150cm2。

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

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解：延长BA、CD交于点E。 在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。 所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC－ED=5－2=3

例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

解：四边形ABCD是等腰梯形.

证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示. ∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA， ∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB＝∠CBA.

EADCB∴EA＝EB.

又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，

∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB. 又AD不平行于BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形.

ABDC（三）、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

解：连结BD，

由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；

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