通州区2018高三一模考试

12. 2413.②③14.0，0 三、解答题

15. 解：（Ⅰ）因为f?x??sin?????x?x2xcos?3cos?2?22

xxx133?sincos?3cos2?sinx?cosx?22 2222???3．……………………4分 ?sin?x+?+32??所以f?x?的最小正周期T?2?.……………………6分 （Ⅱ）因为x????,0?，所以x+??2??????,?. 3?33?所以当x??3??3，即x?0时，函数f(x)取得最大值sin?3+3?3. 2当x???5???，即x??时，函数326取得最小值?1+3. 23.………………13分 2所以f?x?在区间???,0?上的最大值和最小值分别为3和?1+16. 解：（Ⅰ）

图二（亿元）11001000900800700600500400300200100020112012201320142015增长率201620170.05.0415.820.016.7590.8506.1687.716.416.412.221.7800.817.4939.91054.52011-2017年全社会固定资产投资及增长率（％）25.020.015.010.0全社会固定资产投资……………………4分

（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2. ……………………5分

112C3C44C321C42P(X?0)?2?，P(X?1)?2?，P(X?2)?2?. ………………8分

C77C77C77所以X的分布列为

X 0 1 2 5 / 10

P 2 74 7

……………………9分

1 7

所以X的数学期望E?X??0?（Ⅲ）x0?2416?1??2??.……………………10分 7777. ……………………13分

17. 解：（Ⅰ）因为PQ//CD，PQ?CD，所以四边形PQCD是平行四边形. 所以PD//QC.

因为PD?平面QBC，QC?平面QBC， 所以PD//平面QBC.……………………4分 （Ⅱ）取AD的中点为O， 因为PA?PD，所以OP?AD.

因为平面PAD?平面ABCD,OP?平面PAD，

所以OP?平面ABCD.……………………5分

以点O为坐标原点，分别以直线OD，OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则x轴在平面ABCD内．

因为?APD?90?，AB?AD??2，PQ?CD?1， 所以A?0,?1,0?，B?2,?1,0?，C?1,1,0?，Q?1,0,1?，

uuuruuur所以BQ???1,1,1?，CQ??0,?1,1?. ……………………7分

ruuurr??n?BQ?0,??x?y?z?0,设平面QBC的法向量为n??x,y,z?，所以?ruuu即 r???n?CQ?0,??y?z?0.所以?x?y?z,令z?1，则y?1，x?2.

??y?z.r所以n??2,1,1?. ……………………8分

urrur设平面ABCD的法向量为m??0,0,1?，所以cosn,m?又因为二面角Q?BC?A为锐角，

16?. 6?16所以二面角Q?BC?A的余弦值是6.……………………10分 6 6 / 10

（Ⅲ）存在. 设点M?a,b,c?，

QMQB??，???01,?.

uuuuruuur所以QM??a?1,b,c?1?，QB??1,?1,?1?.

所以a??+1，b???，c???+1.所以点M???1,??,???1?.

uuuur所以AM????1,???1,???1?.

r??1???1?. 又平面QBC的法向量为n??2,1,1?，AM?平面QBC，所以21所以??.

13所以在线段QB上存在点M，使AM

?平面QBC，且

QMQB的值是.……………14分

1318. 解：（Ⅰ）设函数F(x)?f?x??g?x??xe?ae?a.

xx当a?1时，F(x)?xe?e?1，所以F'(x)?xe.

所以x?(??，0)时，F'(x)?0；x?(0，??)时，F'(x)?0. 所以F(x)在(??，0)上单调递减，在(0，??)上单调递增. 所以当x?0时，F(x)取得最小值F(0)?0. 所以F(x)?0，即f(x)?g(x)．……………………4分 （Ⅱ）当a?1时，F'(x)?(x?a?1)e，

令F'(x)?0，即(x?a?1)e?0，解得x?a?1； 令F'(x)?0，即(x?a?1)e?0，解得x?a?1.

所以F(x)在(??，a?1)上单调递减，在(a?1，??)上单调递增. 所以当x?a?1时，F(x)取得极小值，即F(a?1)?a?e令h(a)?a?ea?1a?1xxxxxx. ……………………6分

，则h'(a)?1?ea?1.

因为a?1，所以h'(a)?0. 所以h(a)在(1,??)上单调递减.

7 / 10

所以h(a)?h(1)?0. 所以F(a?1)?0.

又因为F(a)?a?0，所以F(x)在区间(a?1,a)上存在一个零点. 所以在[a?1,??)上存在唯一的零点.……………………10分 又因为F(x)在区间(??,a?1)上单调递减，且F(0)?0，

所以F(x)在区间(??,a?1)上存在唯一的零点0.……………………12分 所以函数h(x)有且仅有两个零点，即使f(x)?g(x)成立的x的个数是两个. ……………………13分

19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，AB?2，离心率e?3， 2所以b?1，

c3?.所以由a2?b2?c2，得a2?4. a2x2?y2?1.……………………3分 所以椭圆C的标准方程是4（Ⅱ）设点P的坐标为?x0,y0?，所以Q的坐标为??x0,y0?. 因为M，N分别是OP，BP的中点， 所以M点的坐标为??x0y0??xy?1?,?，N点的坐标为?0,0?.……………………4分 2222????y0?2x?1. ……………………6分 x0所以直线AD的方程为y?x22?y2?1中，整理得?x02?4?y0?2??x2?8x0?y0?2?x?0. 代入椭圆方程

??4所以x?0，或x?8x0?2?y0?x02?4?y0?2?2=2x0?2?y0?.

5?4y0y0?22x0?2?y0??2y02?4y0?3所以y???1?.

x05?4y05?4y0?2x0?2?y0??2y02?4y0?3?,所以D的坐标为??.……………………10分

5?4y5?4y00?? 8 / 10