高中物理带电粒子在电磁单一组合

浅议带电粒子在电、磁组合场中运动问题分析

有关带电粒子在电、磁组合场中的运动问题是近几年高考的热点，且多以压轴题的形式出现，出现频率之高是其他任何知识点难以能比。随着高中新课程的实施，高考改革的深化，电、磁场中的运动问题越来越成为关注的焦点。为此，此类问题在教学和复习中应做归纳分析，力求领会此题的解决方法和规律。

通过我对近几年高考题的研究，发现此类问题涉及的知识难点有三点： 1、 带电粒子在电场中做匀变速直线运动或类平抛运动。 2、 带电粒子在磁场中的匀速圆周运动。

3、 数学计算，特别是字母的计算和几何知识。

因此，在教学中要把粒子在电场、磁场中的运动知识理清楚，再抓住粒子在两场中运动的连接点。

具体处理带电粒子在电、磁场中的问题：关键是画出粒子的运动轨迹，通过轨迹的变化，寻找轨迹半径间或与其他量间的关系，进而确立电、磁场间的关系，同时正确利用几何关系，列出有关方程。

在研究带电粒子在电场中的运动通常用到的规律是：

牛顿第运动定律 运动学公式、

动能定理和动量定理、 类平抛运动规律知识。

在研究带电粒子在磁场中做匀速圆周运动规律问题时：关键在于三找，即“一找圆心，二找半径R，三找周期T”。

1、圆心的确定

因为洛伦兹力f指向圆心，则可根据洛伦兹力f⊥v，画出粒子运动轨迹中任意f两点（一般是指射入和射出磁场两点）的f的方向，沿两个洛伦兹力f画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。

圆心的确定一般有以下六种情况：

?、若已知粒子运动轨迹上两点的速度方向，作出两速度的垂线，交点即为圆心。 ?、若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出两点的连线（即过

这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，这两个垂线的交点即为圆心；

?、若已知粒子轨迹上的两点和能求出的半径Ｒ，则可作出此两点的连线的中垂。

从连线的端点到中垂线上的距离为Ｒ的点即为圆心；

?、若已知粒子入射方向和出射方向及轨迹半径Ｒ，但不知粒子的运动轨迹，则可

作出此两速度方向的夹角的平分线，角平分线上与两速度方向直线的距离为半径Ｒ的点即为圆心。

?、若已知粒子轨迹上的一点的速度方向和半径Ｒ大小，作速度的垂线，取垂线长度为半径Ｒ大小处的点，即为圆心。

?、若已知粒子做匀速圆周运动轨迹上的两条弦，则这两条弦的中垂线的交点即为圆心。

2、半径Ｒ的确定和计算：

?、通过平面几何知识（如勾股定理、三角函数、直角三角形知识等），求出该圆的可能半径。

?、通过公式求出半径Ｒ

mv2公式： qvB﹦

qR、R﹦

mv qB画轨迹：在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。画轨迹要注意应用对称规律：从一边界入射的粒子，同一边界射出时，则速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，若粒子沿径向射入，则必沿径向射出。

在求粒子在磁场中的运动时间，要先依据画出的圆轨迹找出圆心角θ 的大小，再由t＝

?360T求出时间。其中T为周期， T??2?r2?m ?vqB求圆心角θ 的大小时，常用的几何知识有：

?、一段弧的弦切角等于它对应的圆周角，弦切角等于它对应的圆心角的一半。 ?、四边形内角等于360°算出圆心角的大小。 ?、速度的方向的偏向角等于圆心角。

下面我以具体的例子来分析，来领会此类问题的处理方法。

y

例1、（2004全国卷Ⅱ）．如图所示，在y＞0的空间中存

在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀

P1 强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处0 P2 的 P2点进入磁场，并经过y轴上y＝?2h处的P3点。不计重力。求

（l）电场强度的大小。

P3 （2）粒子到达P2时速度的大小和方向。

（3）磁感应强度的大小。

解析：粒子首先在电场中做类平抛运动，然后再进入磁场里做匀速圆周运动。

（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有

x

qE ＝ ma ①

v0t ＝ 2h ② 12at?h ③ 2y 由①、②、③式解得

2mv0E? ④

2qhP1 h 0 2h v P3 2h C P2 θ x

（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有

2v1?2ah ⑤

22 v?v1 ⑥ ?v0tan??v1 ⑦ v0由②、③、⑤式得

v1＝v0 ⑧

由⑥、⑦、⑧式得

v?2v0 ⑨

??45? ⑩

（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得

v2 ⑾ qvB?mrr是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3，因为OP2＝OP3， θ＝

45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得

r＝2h ⑿

由⑨、⑾、⑿可得

B?mv0 ⒀ qh

例2、（2007全国卷Ⅱ）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀速磁场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离l。一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

（1）粒子经过C点速度的大小和方向；

（2）磁感应强度的大小B。

解析：粒子首先在电场中做类平抛运动，然后再进入磁场里做匀速圆周运动。 （1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有

qE＝ma ①

加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有

h＝

由②③式得

12

at ② 2l＝v0t ③

v0＝la ④ 2h设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量

v1＝2ah ⑤

由①④⑤得

v＝v0?v1＝

22qE?4h2?l2?2mh ⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有

tanα＝

由④⑤⑦式得

α＝arctan

v1 ⑦ v02h l（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为 v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有

v2qvB＝m ⑨

R

设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，

????????且PC＝PA＝R。用β表示PA与y轴的夹角，

由几何关系得

Rcosβ＝Rcosα＋h ⑩ Rsinβ＝l－Rsinα ⑾

由⑧⑩⑾式解得

h2?l24h2?l2 ⑿ R＝2hl由⑥⑨⑿式得

B＝

例3、（ 2008全国卷Ⅰ）如图所示，在坐标系xOy中，过原点的直线OC与x轴正向的夹角φ=120°，在OC右侧有一匀强电场；在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域，并从O点射出，粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ＝30°，大小为v。粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求

（1）粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离；

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