高二数学必修5数列单元测试题及解析

2014-2015高二数学必修5数列单元测试题及解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，那么数列{an}( ) A．是公比为2的等比数列 B．是公差为2的等差数列 1

C．是公比为的等比数列

2D．既非等差数列也非等比数列

解析 由log2Sn＝n，得Sn＝2n，a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4，… 由此可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D

2．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a5＝( ) A．6 B．－3 C．－12 D．－6

解析 a3＝a2－a1＝6－3＝3，

a4＝a3－a2＝3－6＝－3， a5＝a4－a3＝－3－3＝－6. 答案 D

3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为( ) A．an－1B．na C．anD．(n－1)a

解析 由题意，知an＝a(a≠0)，∴Sn＝na. 答案 B

4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为( ) A．63 B．64 C．127 D．128

解析 a5＝a1q＝q＝16，∴q＝2. 1－27

∴S7＝＝128－1＝127.

1－2答案 C

5．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于( )

A．－8 B．8 99C．－D.

88

4

4

解析 a2－a1＝

－1－?－9?8

＝，

33

b22＝(－1)×(－9)＝9，∴b2＝－3， 8

∴b2(a2－a1)＝－3×＝－8.

3答案 A

6．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5

解析 依题意，得－10＝∴n＝3. 答案 B

7．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为( ) 1

A．4 B.

41

C．－4 D．－

4

－12＋8

(n＋2)， 2

解析

?a＋3d＝15，

由a＝15，S＝55，得?5×4

?5a＋2d＝55.

1

4

5

1

?a1＝3，解得?

?d＝4.

15－11

∴a3＝a4－d＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)．kPQ＝＝4.

4－3答案 A

8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝( ) A．55 B．95 C．100 D．190 解析 S19＝答案 B

9．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＋a15是一个确定的常数，则在数列{Sn}中也是确定常数的项是( )

A．S7B．S4 C．S13D．S16

解析 a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7为常数．

a1＋a19

2

×19＝a3＋a17

2

×19＝

10

×19＝95. 2

∴S13＝

a1＋a13

2

×13＝13a7为常数．

答案 C

10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，则通项是( ) A．2n－1B．2n C．2n＋1D．2n＋2

解析 ∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)， ∴62＝q×31，∴q＝2.∴S5＝∴a1＝1，∴an＝2n－1. 答案 A

11．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是( ) A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在

解析 由d<0知，{an}是递减数列， ∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0. 又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0. ∴S5＝S6且最大． 答案 B

12．若a，b，c成等比数列，则方程ax＋bx＋c＝0( ) A．有两个不等实根 B．有两相等的实根 C．无实数根 D．无法确定

解析 a，b，c成等比数列，∴b2＝ac>0. 而Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac<0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0无实数根． 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．2，x，y，z,18成等比数列，则x＝________.

解析 设公比为q，则由2，x，y，z,18成等比数列．得18＝2q，∴q＝±3.∴x＝2q＝±23. 答案 ±23

?2an，0≤an≤1，14．若数列{an}满足an＋1＝?

?an－1，an>1，

4

2

a1?1－25?1－2

＝31.

6

且a1＝，则a2013＝________.

7

61251036125

解析 由题意，得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，…，∴a2013＝a3＝. 77777777

5

答案

7

15．一个数列的前n项和为Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1n，则S17＋S33＋S50＝____________. 解析 S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1. 答案 1

1S4

16．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.

2a4??1?4?

a1?1－???S4??2??

解析 ＝＝15.

a4?1??1?3

?1－?a1???2??2?答案 15

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．

2

解 (1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a1，∵a1≠0，

∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2. 当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1＝Sn－1 两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1， 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 即an＝2n－1.

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1.

记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是

Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②得

－Bn＝1＋2＋2＋…＋2

2

n－1

－n·2＝2－1－n·2.

nnn从而Bn＝1＋(n－1)·2n.

18．(12分)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn. (1)证明{bn}为等差数列；

(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围． 解 (1)证明：设{an}的公比为q， 则a1＝81，

an＋1

＝q，由an>0，可知q>0， an