2017-2018学年高中数学 第二章 统计 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估

2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

预习课本P65～69，思考并完成以下问题 (1)如何用样本平均数估计总体平均数？

(2)样本方差、标准差公式是什么？它们的区别与联系是什么？

[新知初探] 1．样本平均数

1平均数是指样本数据的算术平均数，即x＝(x1＋x2＋…＋xn)． n

2．用样本标准差估计总体标准差 (1)数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为x，定义

样本方差s＝2x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2n. (2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根，即 x1－x样本标准差s＝ 2＋x2－x2＋…＋xn－x2n. [点睛] 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

[小试身手]

1．下列说法不正确的是( ) A．方差是标准差的平方 B．标准差的大小不会超过极差

C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0

D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个

样本数据在样本平均数周围越分散

解析：选D 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．

2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )

A．减少计算量 C．剔除异常值

B．避免故障 D．活跃赛场气氛

解析：选C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．

3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 答案：6

4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．

1

解析：由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1. 5

1222222

所以样本方差为s＝[(－1－1)＋(0－1)＋(1－1)＋(2－1)＋(3－1)]＝2.

5答案：2

平均数的求法 [典例] 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为____________和____________．

[解析] 甲10天每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求1

平均数为x甲＝×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.

10

2

乙10天每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数为：

x乙＝×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23.

[答案] 24 23

求平均数的步骤

(1)求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1＋x2＋…＋xn；

1

(2)求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，xn的平均值为(x1＋x2＋…＋xn)．

110

n[注意] 求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计． [活学活用]

(广东高考)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．

解析：由条件知x＝＝

x1＋x2＋…＋xn2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1

＝5，则所求均值x0＝

nnx1＋x2＋…＋xn＋n＝2x＋1＝2×5＋1＝11.

n答案：11

标准差(方差)的计算及应用 [典例] 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.

(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；

(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，

选谁去合适？

1

[解] (1)x甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，

10

x乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．

1222222

(2)由方差公式s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)]，得s甲＝3，s乙＝1.2.

110

n(3)x甲＝x乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． 又s甲＞s乙，说明甲战士射击情况波动比乙大．

因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．

3

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计算标准差的5步骤

(1)求出样本数据的平均数x.

(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－x(i＝1,2，…，n)． (3)求出xi－x(i＝1,2，…，n)的平方值．

(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差． (5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差． [活学活用]

从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42； 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40. 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？ 解：(1)x甲＝

110

11

(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)， 1010

x乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)

1＝×310＝31(cm)． 10所以x甲

(19－30)＋(39－30)＋(21－30)＋(42－30)]＝12

81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm)，

101

(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋10

s2乙＝

112222

[2×(27－31)＋3×(16－31)＋2×(44－31)＋3×(40－31)]＝×1 288＝1010

128.8(cm)．

所以s甲

即甲种玉米苗长得齐.

数字特征的综合应用 [典例] 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为

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