河南省郑州市2017届高考数学二模试卷（理科）--有答案

四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）（2017?濮阳二模）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣

）=0，以极点为平面

直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是

（α为参数）．

（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；

（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣化为直角坐标方程． 曲线C的参数方程是

（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求

．

）=0，展开可得：

=0，

出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长=2

（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可． 【解答】解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣=0，化为：y﹣

x=0．

（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2=4，圆心C（0，

）=0，展开可得：

曲线C的参数方程是2），半径r=2．

∴圆心C到直线l的距离d=∴直线l被曲线C截得的弦长=2

=1， =2

=2

．

（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y）， 代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2=4，化为：x2+y2﹣2y﹣3=0， 可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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选修4-5：不等式选讲

23．（2017?濮阳二模）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a （Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；

（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．

【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．

（Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，则 h（x）

=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，

解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为 （﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．

（Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，即 h（x）

=，

故 h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．

【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．

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