高三第一轮复习正态分布

概率

课时 正态分布

主干知识归纳

(1)正态曲线

?x－μ?21

函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，①

2σ22πσ

其中μ，σ(σ>0)分别表示总体的 与 ，函数①的图象称为正态曲线． (2)正态曲线的性质

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线关于直线x＝μ . ③曲线在x＝μ时位于 .

④当x<μ时，曲线 ；当x>μ时，曲线 .并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线向它无限靠近．

⑤当μ一定时，曲线形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 .

(3)正态分布

一般地，如果对于任意实数a，b(a

?aμ，σ

(x)dx(即直线x＝a，x

＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ)．当μ＝0，σ＝1时，正态分布称为标准正态分布．

(4)3σ原则

牢记正态分布在三个特殊区间的概率值．

P(μ－σ

1.正态分布在某个区间内取值的概率求法：

(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)． 2．正态分布中要注意：

(1)先弄清正态分布的均值μ和方差σ2分别是多少；

(2)充分利用如下结论：若均值为μ，则由对称性可知P(X≥μ)＝0.5；P(X≤μ)＝0.5；P(X≤μ＋c)＝P(X≥μ－c)(c>0)等结论；

(3)需要熟记P(μ－σ

【指点迷津】

【典例分析】

【例1】：(1)设随机变量X～N(3,1)，若P(x＞4)＝p，则P(2＜x＜4)＝( )

11

A.＋p B．1－p C．1－2p D.－p 22

(2)为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男

2

生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，2)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是( )

A．997 B．954 C．819 D．683 【解析】：(1)∵随机变量X～N(3,1)，观察图得，

P(2＜X＜4)＝1－2P(X＞4)＝1－2p.

(2)由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而体重属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683. 答案：(1) C． (2) 683. 【例2】：（1）已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

（2）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

A．2386 B．2718 C．3413 D．4772

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

P?－6＜ξ＜6?－P?－3＜ξ＜3?

＝

2

0.9544－0.6826

＝0.1359＝13.59%.

2

（2）利用阴影部分的面积所占正方形的比例，估计落入阴影部分的点的个数．

由P(－1

由几何概型可知＝，

100001×1

0.3413

故落入阴影部分的点的个数为10000×＝3413.

1×1答案：（1）13.59%. （2）3413.

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

一．选择题

2

1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )

A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

【解析】：根据正态分布的性质：对称轴x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中，由图可得，选A.

答案：A.

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)的值为( )

1111A. B. C. D. 54321【解析】：由ξ～N(3，σ2)，知μ＝3，故P(ξ<3)＝.

2

3.若ξ～N(－2，σ)，且P(－4＜ξ＜－2)＝0.3，则P(ξ＞0)＝( )

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

1－2P4＜ξ＜－22

【解析】：因为ξ～N(－2，σ)，所以P(ξ＞0)＝P(ξ＜－4)＝＝0.2.

2

答案：A．

2

4.设随机变量X～N(1,5)，且P(X≤0)＝P(X＞a－2)，则实数a的值为( )

A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4，选A. 答案：A.

5.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)分别是( )

A．6和2.4 B.2和2.4 C．2和5.6 D.6和5.6 【解析】：若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)

2

＝aE(X)＋b，D(η)＝aD(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.

2

因此，E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案：B. 二．填空题

?x－10?21

设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则这

86.8π个正态总体的平均数与标准差分别是 .

2

?x－μ?1

【解析】：由函数φμ，σ(x)＝e－，知平均数与标准差分别是10、2.

2σ22πσ答案：10、2.

7.已知随机变量?服从正态分布N(2，?22

)，P(?≤4)?0.84，则P(?≤0)?

【解析】：P(?≤0)?P(??4)?1?P(?≤4)?0.16

答案：0.16.

8.已知随机变量ξ满足正态分布N(μ，σ2)，且P(ξ<1)＝0.5，P(ξ>2)＝0.4，则P(0<ξ<1)＝________． 【解析】：由题知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，又P(ξ＜2)＝0.6，∴P(0＜ξ＜1)＝0.6－0.5＝0.1. 答案：0.1. 三．解答题

9.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 【解析】：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛， ∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10. ∴P(X≥90)＝＝

1[1－P(30＜X＜90)] 21(1－0.9974)＝0.0013. 21313又P(X≥90)＝，∴＝0.0013.∴n＝10000.

nn故此次参加竞赛的学生总数共有10000人． (2)设受奖的学生的分数线为x0. 则P(X≥x0)＝

228＝0.0228.

10000∵0.0228＜0.5，∴x0＞60.

∴P(120－x0＜X＜x0)＝1－2P(X≥x0)＝0.9544， ∴x0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分． 答案：(1) 10000人． (2) 80分．

10.已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182?.

(1)求正态分布密度函数的解析式；

(2)估计尺寸在72mm～88mm之间的零件大约占总数的百分之几．

【解析】：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数， 所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值． 因此得μ＝80，12???＝182?，所以σ＝8.

故正态分布密度函数的解析式是

(2)由μ＝80，σ＝8，得

μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，

所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.26%. 答案：(1)

， (2) 68.26%.

【二级目标】能力提升题组

一．选择题

1．设X~N（1,?）,其正态分布密度曲线如图所示，且P（X?3）=0．0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （附：若随机变量

2

?服从正态分布N（

?,?2），则

P(?????????)=68．26％． P(??2??????2?)=95．44％）

A．6038 B．6587 C．7028 D．7539 【解析】：由

1（1?P(??2??X???2?))?0.0228，可得2??2，即??1，则 2P(0?X?2)?68.26%，所以P(0?X?1)?34.13%，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是

(1?34.13%)?10000?6587个

答案：B．

2．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N区间

?0,3?，从中随机取一件，其长度误差落在

2?3,6?内的概率为（ ）