(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分54分专项练54分专项练(五)18、19、20、21(含解析)

54分专项练(五) 18、19、20、21

1．已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1·a4＝16，S4＝20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)

2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，M为AD上一点，

n－1

2n＋1

，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.

SnAM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.

(1)若△MCD为等腰三角形，求BC； (2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tan θ.

3．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.

(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；

(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P-CE-D的余弦值．

4．某大型公司为鼓励员工与客户沟通，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐．为了解该单位员工手机流量使用情况，通过抽样得到100位员工近2年每人手机月平均使用流量L(单位：MB)的数据，其频率分布直方图如下：

若将每位员工的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题：

(1)从该大型公司员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300 MB的概率；

(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下： 套餐名称 月套餐费(单位：元) 20 30 38 月套餐流量(单位：MB) 300 500 700 A B C 这三款套餐都有如下附加条款：套餐费在月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 MB流量，资费20元/次，如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 MB流量，资费20元/次，以此类推．如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．

该公司欲订购其中一款流量套餐，为员工支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由员工个人承担．问公司订购哪一款套餐最经济？说明理由．

54分专项练(五) 18、19、20、21

???a1a4＝16，?a1＝2，?1．解：(1)由且a1

所以公差d＝

a4－a1

3

＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

（2n＋2）n(2)由(1)知an＝2n，所以Sn＝＝n(n＋1)．

2所以bn＝(－1)＝(－1)

n－1

n－1

2n＋12n＋1n－1

＝(－1) Snn（n＋1）

?1＋1?，

?nn＋1???

?1??11?所以Tn＝?1＋?－?＋?＋…＋ ?2??23?

(－1)

n－1

?1＋1?＝1＋(－1)n－11. ?nn＋1?n＋1??

2．解：(1)由AB∥CD，∠A＝60°可得∠D＝120°. 又△MCD为等腰三角形，所以∠DMC＝∠DCM＝30°， 所以MC＝3MD＝3，∠AMB＝90°，所以MB＝23. 在△MBC中，由余弦定理得

BC2＝BM2＋MC2－2BM·MC·cos∠BMC＝12＋3－2×23×3×＝9，即BC＝3.

(2)因为∠DCM＝θ，所以∠DMC＝60°－θ，所以∠DMB＝120°－θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°<θ<60°.

3

在△MCD中，由正弦定理得MC＝，

2sin θ3

在△MAB中，由正弦定理得MB＝，

sin（60°－θ）

12

由MB＝4MC，得解得tan θ＝

343

＝，化简得3cos θ－2sin θ＝0，

sin（60°－θ）2sin θ

3. 2

3．解：(1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF. 因为O，F分别为AC，PC的中点，

1

所以OF∥PA，且OF＝PA.

2

1

因为DE∥PA，且DE＝PA，所以OF∥DE，且OF＝DE.

2所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF. 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC. 又因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.

又因为FE?平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE. (2)因为直线PC与平面ABCD所成角为45°， 所以∠PCA＝45°，所以AC＝PA＝2. 所以AC＝AB，故△ABC为等边三角形．

设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC，所以AM⊥AD.

以A为原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图．

则P(0，0，2)，C(3，1，0)，E(0，2，1)，D(0，2，0)， →→→

所以PC＝(3，1，－2)，CE＝(－3，1，1)，DE＝(0，0，1)． 设平面PCE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，