2020届高考数学(文)总复习：创新思维课时规范练(含答案)提能练(四) 立体几何

提能练(四) 立体几何 A组 基础对点练

1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( ) A．4π C．6π

解析：设球的半径为R，

6＋8－10∵△ABC的内切圆半径为＝2，

23

∴R≤2.又2R≤3，∴R≤2， 4?3?39π

∴Vmax＝3×π×?2?＝2. ??答案：B

2.(2019·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A．4π C．24π

B．16π D．25π 9π

B.2 32πD.3 解析：由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝

22＋22＋42＝26，则

R＝6，故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C. 答案：C

3．(2019·洛阳模拟)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为( ) 82A.3π

83B.3π

86C.3π 162D.3π

解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为22.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长22，则482

球O的体积V＝3πR3＝3π，故选A. 答案：A

4．(2019·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )

8A.3 82C.3

4B.3 42D.3 解析：记由三视图还原后的几何体为四棱锥A－BCDE，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE⊥平面BCDE，点A到直线BE的距离即四棱锥的高，设为h，5

在△ABE中，易知AE＝BE＝5，cos∠ABE＝5，则sin

25451

∠ABE＝5，所以h＝5，故四棱锥的体积V＝3

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×2×5×5＝3，故选A. 答案：A

5．(2019·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示，正方形网格的边长为1，该几

何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )

A．15π C．17π

B．16π D．18π

解析：由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1－BCD，将其放在长方体ABCD－A1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为

9＋4＋4＝17，球O的直径为

17，所以球O的表面积S＝17π，故选C. 答案：C

6．(2019·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．

解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝11所以圆锥的体积V＝3πr2h＝3πr2

1

9－r2＝3π9－r2，

9r4－r6.设f(r)＝9r4－r6(r＞0)，

则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝6，所以当0＜r＜6时，f′(r)＞0，f(r)单调递增，当r＞6时，f′(r)＜0，f(r)单调递减，1

所以f(r)max＝f(6)＝108，所以Vmax＝3π×108＝23π. 答案：23π

7．(2019·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．

解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P－ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝27，PA2＋y2＝102，(2x

102－[x2－?27?2]＝x

7)2＋PA2＝x2，所以xy＝

22x＋?128－x?2

128－x≤＝64，当

2

且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64. 答案：64

8.如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点． (1)证明：平面PCD⊥平面PDE；

(2)若PD＝3AD，求点E到平面PBC的距离． 解析：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD， 所以PD⊥AB，

连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△DAB为等边三角形，又E为AB的中点，所以AB⊥DE，又PD∩DE＝D， 所以AB⊥平面PDE，因为CD∥AB， 所以CD⊥平面PDE， 因为CD

平面PCD，