2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明测试 理 新人教A版选修2-2

第二章 推理与证明

微测试1 2.1.1合情推理

一、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，...，一直数到2017时，对应的指头是

A．小指 C．食指

B．中指 D．大拇指

2．已知下列等式：

2?22334455aa，3??3，4?，5?，…，10??10， ?2?4?5338815152424bb则推测a?b? A．109 C．199

B．1033 D．29

3．观察下列算式：

21?2，22?4，23?8，24?16，25?32，26?64，27?128，28?256，…

用你所发现的规律可得22017的末位数字是 A．2 C．6

B．4 D．8

4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r?2S；类比a?b?c这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体

P-ABC的体积为V，则r? VA．

S1?S2?S3?S4

2VB． S1?S2?S3?S4C．3V

S1?S2?S3?S4 D．4V S1?S2?S3?S4二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上．

5．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A、B、C做了一项预测：

A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”． B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．

C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．

比赛结果出来后，发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_____________． 6．观察下列各式：

13?； 2221151?2?2?；

23311171?2?2?2?；

23441?……

照此规律，当n?N*时，1?11?2?223?1?_____________． 2(n?1)7．设a，b，c是直角三角形的三边长，斜边上的高为h，c为斜边长，则给出四个命题： ①a?b?c?h； ②a2?b2?c2?h2； ③a3?b3?c3?h3； ④a4?b4?c4?h4．

其中真命题的序号是_____________，进一步类比得到的一般结论是_____________． 三、解答题：本大题共2小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为

n(n?1)121?n?n．记第n个k边形数为N(n,k)(k?3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的222表达式：

三角形数：N(n,3)?121n?n； 222

正方形数：N(n,4)?n2； 五边形数：N(n,5)?32n2?12n； 六边形数：N(n,6)?2n2?n；

……

由此推测N(n,k)(k?3)的表达式，并求N(10,24)的值．

9．（1）试计算下列各式：（只需写出计算结果，不需写出计算过程）

sin245??sin2105??sin2165??_____________； sin230??sin290??sin2150??_____________； sin215??sin275??sin2135??_____________．

（2）通过观察上述各式的计算规律，请你写出一般性的命题，并给出你的证明． 3

1．D 【解析】由题意得，大拇指对应的数是1?8n，其中n?N，因为2017?252?8?1，所以数到2017时，对应的指头是大拇指．故选D．

2．A 【解析】分析所给的等式，可归纳出等式n?ann*，在?n(n?2,n?N)10??10n2?1n2?1bab中，a?10，b?102?1?99，于是a?b?109．故选A．

3．A 【解析】通过观察可知，末尾数字周期为4，2017?4?504?1，故22017的末位数字是2．故选A． 4．C 【解析】△ABC的三条边长a，b，c类比为四面体P-ABC的四个面的面积S1，S2，S3，S4，三角形面积公式中的系数3V11类比为三棱锥体积公式中的系数，从而可知r?．

S?S?S?S231234证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，则

3V1111V?S1r?S2r?S3r?S4r，故r?．故选C．

S1?S2?S3?S433335．甲 【解析】由题知B、C的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B、C谁对，A必是一对一错，假设B的预测是对的，则丙是冠军，那么A说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾，即假设不成立，所以B的预测是错误的，则C的预测是对的，所以甲是冠军．故填甲． 6．

2n?1 【解析】观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是2n?1的形式，n?12n?12n?1分母是n?1的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是．故填．

n?1n?1nnnn*7．②④ a?b?c?h(n?N) 【解析】在直角三角形ABC中，a?csinA，b?ccosA，ab?ch，

nnnnnnnnnn所以h?csinAcosA．于是a?b?c(sinA?cosA)，c?h?c(1?sinAcosA)．

（1?cosA)?0， 因为a?b?c?h?c(sinA?cosA?1?sinAcosA)?c（sinA?1)所以an?bn?cn?hn． 8．N(n,k)?nnnnnnnnnnnnk?224?kn?n(k?3)，N(10,24)?1000． 221213?224?3n?n， 【解析】由已知得：N(n,3)?n?n?2222 4