2021届高考数学(理)一轮复习学案：第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

＜x＜2}，显然B2

A，

∴“x－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.

→→→→→→→→2→2→→→2→2→→(3)|AB＋AC|＞|BC|?|AB＋AC|＞|AC－AB|?AB＋AC＋2AB·AC＞AB＋AC－2AB·AC?→→→→→→→→?π?AB·AC＞0，由点A，B，C不共线，得〈AB，AC〉∈?0，?，故AB·AC＞0?AB，AC的夹角

2??为锐角．故选C.]

[逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )

1

A．m＞

4C．m＞0

B．0＜m＜1 D．m＞1

2

122

C [若不等式x－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)－4m＜0，解得m＞，因此当

4不等式x－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]

判断充要条件需注意3点

(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．

1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B [x－5x－6＝0?x＝－1或x＝6，

∵x＝－1?x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1， ∴“x＝－1”是“x－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.] 2．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈

2

22

q的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

q，其等价于p?綈q，

A [因为綈p是q的必要不充分条件，所以q?綈p，但綈p但綈qp，故选A.]

3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人

之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )

A．充要条件

B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

D [非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．] 考点3 充分条件、必要条件的应用

根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关

系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0,3] [由x－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P. 又S为非空集合， 1－m≤1＋m，??

则?1－m≥－2，??1＋m≤10，∴0≤m≤3.

即所求m的取值范围是[0,3]．]

[母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围． 1－m≤1＋m，??

[解] 由x∈P是x∈S的充分条件，知P?S，则?1－m≤－2，

??1＋m≥10，解得m≥9，

即所求m的取值范围是[9，＋∞)．

利用充要条件求参数的2个关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．

2

设n∈N＋，则一元二次方程x－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝

________.

3或4 [由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3， 当n＝4时，方程有整数根2. 综上可知，n＝3或4.]

*

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