最新数学北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 1.2试卷含答案

1.2 椭圆的简单性质 课后训练案巩固提升

A组

1.设椭圆

=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程a2+b-c=0的两个实根分别为1和2,则点

P(1,2)( )

A.必在圆+y=2内 B.必在圆+y=2上 C.必在圆+y=2外 D.以上三种情形都有 解析∵e=,∴2

22

22

2

.∵a2=b2+c2,∴b2=a2.

,1·2=-,

∵1+2=-∴=(1+2)2-212=+1=<2.

∴P点在圆2+y2=2内.

答案A

2.已知对∈R,直线y--1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(5,+∞)

C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5)

解析直线y--1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且

m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.

答案C

3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )

A. B. C.-1 D.

解析由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|.

∵△ABF2是等腰直角三角形,

∴|AF1|=|F1F2|,即∴b2=a2-c2=2ac.

整理得e+2e-1=0,∴e=答案C

2

=2c.

-1.

4.焦点在轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )

A.=1 B.+y=1

2

C.=1 D.+=1

2

解析依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=答案A

,故所求椭圆的标准方程是=1.

5.若点O和点F分别为椭圆 A.2

( ) B.3

=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为

C.6 D.8

解析由椭圆方程得F(-1,0),设P(0,y0),

则

=(0,y0)·(0+1,y0)=+0+.

∵P为椭圆上一点,∴=1.

∴∵-2≤0≤2,∴答案C

+0+3+0+3=(0+2)+2.

2

的最大值在0=2时取得,且最大值等于6.

6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2是 . 解析由已知,得a=2b,c=2

2

2

,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程

,又a-b=c,

222

故b=4,a=16,又焦点在轴上,

故椭圆方程为=1.

答案=1

7.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),

若椭圆上存在点P使解析如图所示,

,则该椭圆的离心率的取值范围为 .

e=∵|PF2|

-1.

∴e=-1>-1,即e>-1,

∴e2+2e-1>0.

又∵0

-1

-1,1)

8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为椭圆G的方程为 .

,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则

解析由题设,知2a=12,,∴a=6,c=3.∴b=3.

答案=1

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);

(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.

解(1)设椭圆的标准方程为

且椭圆过点(2,-6),

=1或=1(a>b>0).由已知a=2b, ①

从而有=1或=1. ②

由①②,得a=148,b=37,或a=52,b=13.

2222

故所求椭圆的方程为=1或=1.

(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,

∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.

故所求椭圆的方程为=1.

10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.

解(方法一)由题意,直线AB的方程为

即b-ay+ab=0.

=1,

∵焦点F1到直线AB的距离d=,

∴.

2

2

两边平方、整理,得8c-14ac+5a=0, 两边同时除以a,得8e-14e+5=0, 解得e=或e=(舍去).

2

2

(方法二)在△AF1B中,由面积公式可得8c-14ac+5a=0.(以下解法同解法一)

2

2

=(a-c)·b,将b2=a2-c2代入上式,整理得

B组

1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A.[6,10]

B.[6,8]

C.[8,10]

D.[16,20]