任意角的三角比精品讲义

课题 任意角的三角比

1、任意角及其度量 一、知识梳理

I、角的概念的推广 1、角的定义

一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB所形成的图形就是角。旋转开始时的射线OA叫做角端点O叫做角α的顶点。 2、角的分类

（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角

按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。 （2）按角的终边位置分类

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。

3、终边相同的角的集合表示

所有与角?终边相同的角，连同角?在内可以用式子k·360°+?，（k∈Z）来表示，即任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和。 【终边落在坐标轴上的角的集合表示】

终边落在x轴的正半轴上： 终边落在x轴的负半轴上： 终边落在y轴的正半轴上： 终边落在y轴的负半轴上： 终边落在x轴上： 终边落在y轴上： 终边落在坐标轴上：

【象限角的集合表示】

第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角：

【几类特殊角的表示】

终边在第一、 三象限角平分线： 终边在第二、 四象限角平分线： 终边在x轴上方：

的始边，旋转终止时的射线OB叫做角α的终边，射线的

终边在x轴下方： 终边在y轴右侧： 终边在y轴左侧：

终边关于x轴对称的两个角： 终边关于y轴对称的两个角：

二、例题分析

例1、下列命题中是真命题的是 （ ）

A．小于90°的角是锐角； B．若C．若角D．若

是锐角，则与角

的终边在第一象限；

=

；

（ ）

是正角。

D．﹣390°

的终边相同，则

的终边在第一象限，则

B．150°

例2、在下列各角中与330°角的终边相同的是

A．510°

C．﹣60°

例3、将下列各角化成?+2k?（0≤?≤2?，k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限的角：

（1）

II、弧度制 1、角的度量 （1）弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

（2）角的弧度数的计算

若l是以角?作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，那么?的弧度数的绝对值 |?|=

22?； 3 （2）﹣315°； （3）1 500°； （4）﹣9?

l r2、角度制与弧度制的换算 （1）角度化为弧度

360°=2? rad，180°=? rad；1°=（2）弧度化为角度

2? rad=360°，? rad=180°，1 rad=（3）常用的特殊角的弧度数 角度 弧度 0° 0 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° ?180 rad≈0．017 45 rad

180??≈57．30°

? 12? 6? 4? 35? 12? 22? 33? 45? 63、弧长公式和扇形面积公式 （1）弧长公式

①角度制下的弧长公式为l=

n?r（n为角?的角度数） 180②弧度制下弧长公式为l=?·r，其中?为圆弧所对的圆心角的弧度数，r为圆的半径 （2）扇形面积公式

n?r2①角度制下的扇形面积公式S=

360②弧度制下扇形面积公式为S=面积公式还可以表示为S=

1l·r，其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径，弧度制下扇形21?r2，其中?为扇形的圆心角，r为扇形的半径 2例4、（1）将315°30′化成弧度；

（2）将13．5? rad化成度；

（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？

例5、已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6，

（1）求

三、巩固练习

1．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角

（1）最大的负角； （2）最小的正角； （3）360°~720°的角。

的长；

（2）求弓形AB的面积。

2．如图，试用弧度制：

（1）分别写出终边在OA、OB上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合。

3．若?是第二象限角，试判断2?，

4．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形面积最大？最大面积是多少？

5．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx=45°，点P从点A出发，依逆时

<<180°针方向等速沿单位圆周旋转。已知P在1秒钟内转过的角度为（0°），经过2

秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求。

??，角各是第几象限角？ 23

6．若

是第三象限角，则

所属的象限是 。

四、课堂检测

1．用弧度制表示下列各角：

30°= ，60°= ，90°= ，120°= ， 150°= ，240°= ，270°= ，360°= 。