（整理）1函数项级数的一致收敛性

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函数列与函数项级数

§1. 函数项级数的一致收敛性

1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ fn(x)?x2?1,x?(??,??); n2⑵ fn(x)?sinx, ni) x?(?l,l), ii) x?(??,??);

nx, x?(0,1); 1?nx1⑷ fn(x)?,

1?nx⑶ fn(x)?i) x?[a,??),a?0, ii) x?(0,??);

n2x2, ⑸ fn(x)?331?nxi) x?[a,??),a?0, ii) x?(0,??); ⑹ fn(x)?nx, x?[0,1];

1?n?xxn, ⑺ fn(x)?1?xni) x?[0,b],b?1, ii) x?[0,1]; iii) x?[a,??),a?1;

n2n⑻ fn(x)?x?x, x?[0,1]; nn?1⑼ fn(x)?x?x, x?[0,1];

xxln, x?(0,1); nn1?nx⑾ fn(x)?ln(1?e), x?(??,??);

n⑽ fn(x)?精品文档

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⑿ fn(x)?e?(x?n),

i) x?[?l,l], ii) x?(??,??)?? 2. 设f(x)定义于(a,b)，令

2fn(x)?[nf(x)] (n?1,2,???). n求证：{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于f(x). 3. 参数?取什么值时，

fn(x)?n?xe?nx, n?1,2,3,???

在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使lim限？

4. 证明序列fn(x)?nxe?nx(n?1,2,???)在闭区间[0,1]上收敛，但

2n???0?1fn(x)dx可在积分号下取极

?10n???limfn(x)dx?lim?fn(x)dx.

n???015. 设{fn(x)}是[a,b]上的连续函数列，且{fn(x)}在[a,b]一致收敛于f(x)；又

xn?[a,b](n?1,2,???)，满足limxn?x0，求证 limfn(xn)?f(x0).

n???n???6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴

?(1?x)xn?0??n, x?[0,1];

(?1)n?1x2, x?(??,??). ⑵ ?2nn?1(1?x)7. 设fn(x)(n?1,2,???)在[a,b]上有界，并且{fn(x)}在[a,b]上一致收敛，求证：

fn(x)在[a,b]上一致有界.

8. 设f(x)在(a,b)内有连续的导数f?(x)，且

1fn(x)?n[f(x?)?f(x)],

n求证：在闭区间[?,?](a?????b)上，{fn(x)}一致收敛于f?(x). 9. 设f1(x)在[a,b]上黎曼可积，定义函数序列

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fn?1(x)??fn(t)dt (n?1,2,???)

ax求证：{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于零.

10. 设{fn(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x)，x0?(a,b)且

x??x0limfn(x)?an, (n?1,2,???).

证明：liman和limf(x)存在且相等，即

n???x??x0n???x??x0limlimfn(x)?limlimfn(x).

x??x0n???11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ ⑵

?n?1?sinnx3n?x44, x?(??,??);

x, x?(??,??); ?421?nxn?1??(?1)n(1?e?nx), x?[0,???); ⑶ ?22n?xn?1⑷

sinnx, x?(?2,??); ?nx?2n?1nx, x?(??,??); ?52n?11?nx??⑸

⑹ ⑺

?n?1?n21(xn?x?n), ??|x|??2;

2n!?xen?1??2?nx, x?[0,??);

xnlnnx, x?[0,1]; ⑻ ?n!n?1

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⑼

?2112x??x????n2(n?1)2n?2?????, x?(??,??); ?⑽

n, |x|?r?1; ?nxn?1?⑾

?ln(1?nx), x?[a,??),a?1.? nnxn?1?12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：

?⑴

?n?1?cos2n?3, x?(??,??); n2?x2⑵

sinxsinnx, x?[0,2?]; ?n?xn?1?(?1)n, x?(?1,??); ⑶ ?x?nn?1(?1)n, x?(??,??); ⑷ ?n?sinxn?1? ⑸

?2nsinn?1?1, x?(0,??); 3nx⑹

?n?1??(?1)32n(n?1)2xn?e, |x|?a;

⑺

?n?1?xn, x?[?1,0]; nx2n?1, x?[?1,1]. ⑻ ?(?1)2n?1n?1n13.

14. 设每一项?n(x)都是[a,b]上的单调函数，如果

敛，那么这级数在[a,b]上一致收敛. 15.

??(x)在[a,b]的端点为绝对收

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?16. 证明级数

?(?1)n?1n?11关于x在(??,??)上为一致收敛，但对任何x并非绝2n?xx2对收敛；而级数?虽在x?(??,??)上绝对收敛，但并不一致收敛. 2nn?1(1?x)?17. 若

?u(x)的一般项|u(x)|?c(x), x?X,并且?c(x)在X上一致收敛，证明

nnn??nn?1n?1?u(x)在X上也一致收敛且绝对收敛.

nn?1?

f(x)??n?0?f(n)(x0)(x?x0)n. n!

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