2020届高三精准培优专练十五 平行垂直关系的证明（理） 学生版

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41916112．【答案】（1）证明见解析；（2）19；（3）23． 【解析】（1）取AC中点O，因为AB?BC，AD?CD， 所以CA?BO，CA?OD，∴CA?BD．

因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA?BD， 因为PA?平面PAC，AC?平面PAC，PAAC?A，

所以BD?面PAC．

（2）以O为坐标原点，BD，AC，平行于PA的直线为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系，

则因为AB?BC?2，?ABC?120?，所以AO?OC?3，BO?1，

因为AD?CD?7，所以DO?2，

因此B(1,0,0)，D(?2,0,0)，C(0,3,0)，A(0,?3,0)，P(0,?3,3)， 从而DB?(3,0,0)为平面APC一个法向量，G??3??0,0,2??，DG????3???2,0,?2??，?cos?DG,DB??6193?4?3?419，

4因此DG与平面APC所成的角的正弦值为

41919． （3）同（2）建立空间直角坐标系，设CG??CP??(0,?23,3)， 因为PC?面BGD，所以BG?CP?0，

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∴(BC?CG)?CP?0，((?1,3,0)??CP)?CP?0，?6?15??0，??25． 因为n?(0,0,1)为平面ACD一个法向量， 设n1?(x,y,z)为平面GCD的法向量，

则由???n?n1?(?2,?3,0)?01?CD?0????2x?3y?0?CG?0????n1??n25(0,?23,3)?0??，

1????23y?3z?0得n1?(?3,2,4)，所以cos?n,n4231??43?4?16?23， 因此二面角G?CD?A正弦值为1???423?2161??23???． ?23

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