2020届高三精准培优专练十五 平行垂直关系的证明（理） 学生版

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10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，有以下结论：

①BD∥平面CB1D1； ②AD?平面CB1D1； ③AC1?BD；

④异面直线AD与CB1所成的角为60?．

则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）．

三、解答题

11．如图，在四棱锥E?ABCD中，平面EDC?平面ABCD，四边形ABCD为矩形，ED?EC，点F，G分别是EC，AB的中点．

求证：（1）直线FG∥平面ADE； （2）平面ADE?平面EBC．

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12．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AB?BC?2，AD?CD?． ?ABC?120?．G为线段PC上的点（点G与点P,C不重合）（1）证明：BD?面PAC；

（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正弦值； （3）若G满足PC?面BGD，求二面角G?CD?A正弦值．

7，PA?3，

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培优点十五 平行垂直关系的证明 答案

例1：【答案】①③④

【解析】对于①，因为CD?AD，CD?PA，AD所以CD?平面PAD，所以CD?PD，则①正确；

PA?A，

对于②，BD?PA，当BD?AO时，BD?平面PAO，但BD与AO不一定垂直，故②不正确； 对于③，因为CB?AB，CB?PA，ABPA?A，

所以CB?平面PAB，所以CB?PB，则③正确；

对于④，因为BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，则④正确． 故填①③④．

例2：【答案】（1）证明见解析；（2）60?． 【解析】（1）∵PA?平面ABCD，∴PA?AD， 又AD?AB，AB，PA为平面PAB上相交直线， ∴AD?平面PAB，∴AD?PB，

而等腰三角形PAB中有PB?AF，∴PB?平面ADEF， 而ED?平面ADEF，∴PB?ED．

（2）易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

求得平面ADEF的一个法向量m?(1,0,?1)，平面PCD的一个法向量n?(0,1,1)， ∴cos?m,n???1， 2∴平面ADEF与平面PCD所成锐二面角为60?．

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一、选择题 1．【答案】A

【解析】因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， 所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，

又因为EF?平面PCD，DC?平面PCD，所以EF∥平面PCD， 又因为EF?平面EFQ，平面EFQ平面PCD?GH，所以EF∥GH，

又因为EF∥AB，所以AB∥GH， 故选A． 2．【答案】C

【解析】∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点， ∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为2，

则B(2,2,0)，C1(0,2,2)，M(1,2,1)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，N(0,1,1)，

MN?(?1,?1,0)，CC1?(0,0,2)，∴MN?CC1?0，∴MN?CC1，故A正确；A(2,0,0)，AC?(?2,2,0)，AC?MN?2?2?0?0，∴AC?MN，

又MN?CC1，ACCC1?C，∴MN?平面ACC1A1，故B成立；

∵ AB?(0,2,0)，MN?(?1,?1,0)，∴MN和AB不平行，故C错误；

平面ABCD的法向量 n?(0,0,1)，MN?n?0， 又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确． 故选C．

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