导数与应用-答案（文）

三、解答题

【2017湖南衡阳上学期期末】已知函数导函数. （1）若曲线（2）讨论

在点的解的个数；

，恒有

.

处的切线垂直于直线

，求的值； ，记

为

的

（3）证明：对任意的【答案】（1）

；（2）见解析；（3）见解析.

（2）由（1）可得则又当故当当当（3）令

在

单调递减，又时，时，时，时，

，所以

在，当无解； 有唯一解； 有两解.

，令

上单调递减，在时，

，当

得上单调递增.

时，

，

，

.

【2017山西五校联考】已知，函数

．

（1）求证：曲线（2）若

是

在点在区间

处的切线过点；

上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围．

.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 (1)证明：因为分

，所以， 1

因为，所以曲线

，

在点处的切线方程为

即故曲线曲线

在点

，令，则，

； 4分

处的切线过点

【2017云南师大附中月考】已知函数（1）若曲线（2）若

时，

在点

处的切线斜率为1，求函数恒成立，求实数的取值范围.

. .

的单调区间；

【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）【解析】 （Ⅰ）∵∴

当x<0时， 当x>0时，∴故

恒成立，所以

，记

单减； 单增， ， 在∴

∴

∴

，

，

上单调递增．

ii）当当∴当当∴∴记∴∴综上，

∴

在∴． ，由

，

上单调递增，

． ∴

．

时，

时，即时，

使

，即

，即

，即

时，∵

在

上单增，且

， ． 单减；

单增．

， ，

【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数的范围，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性.

【2017江西赣州上学期期末】已知函数（1）若函数（2）已知

设

.

【答案】(1)【解析】

;(2) 详见解析. 存在与直线

，若

.

平行的切线，求实数的取值范围； 有极大值点

，求证：

（1）因为

在

解，所以

上有解,即，得

,因为函数

在

存在与直线上有解，也即

.

平行的切线，所以在

上有

,故所求实数的取值范围是

【2017湖南长沙一模】已知函数(Ⅰ)设(Ⅱ)当

时，直线

，当、

时，求函数

，为实常数． 的单调区间； 与函数

、

的图象一共有四个

．

不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证： 【答案】(1)单调递增区间为【解析】 (Ⅰ) 当

时，

与

，其定义域为

，故F(x)的单调递增区间为

平行，

且

，

．令

，无单调递减区间；(2)证明见解析．

，而，

，无单调递减区间．

(Ⅱ)因为直线

故该四边形为平行四边形等价于当则

时，

．