2015-2016学年度第二学期高一数学期考试题(含答案)

∴，

故答案为：

，n∈N*．

16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面A1AB所成角的余弦值为 ．

【考点】直线与平面所成的角．

【分析】取AB，B1B的中点为M，D，连接DF，DM，ME，作EN⊥DF，垂足为N，则DM为EF在平面A1AB上的射影，EN∥MD，可得∠NEF为直线EF与平面A1AB所成角，即可得出结论．

【解答】解：取AB，B1B的中点为M，D，连接DF，DM，ME，作EN⊥DF，垂足为N，则DM为EF在平面A1AB上的射影，EN∥MD， ∴∠NEF为直线EF与平面A1AB所成角， 设AB=2a，则EN=a，EF=a， ∴直线EF与平面A1AB所成角的余弦值为故答案为：

．

．

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17．在△ABC中，直线AB的方程为3x﹣2y﹣1=0，直线AC的方程为2x+3y﹣18=0．直线BC的方程为3x+4y﹣m=0（m≠25）． （1）求证：△ABC为直角三角形；

（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值． 【考点】点到直线的距离公式． 【分析】（1）利用斜率计算公式、直线垂直与斜率之间的关系即可判断出三角形形状． （2）利用直线的交点求法、点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为直线AC的斜率为

，kABkAC=﹣1，

，

∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．

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（2）解方程组，得，即A（3，4）．

设点A到直线BC的距离为d，则．

由题意知d=1，即

，即m=20或30．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=．

（1）若a=3，b=，求c的值；

（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），a=，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．

【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由已知利用余弦定理即可得解c的值． （2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（A）=sin（2A+

）﹣，利用正弦函数的

性质可求f（A）的最大值，利用正弦定理进而可求得此时△ABC的外接圆半径． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵b2=a2+c2﹣2accosB，a=3，b=∴7=9+c2﹣2×解得：c=1或2…4分

（2）由二倍角公式得f（A）=∴f（A）=sin（2A+∴当A=

）﹣，

sin2A+cos2A﹣，

，

，

，整理可得：c2﹣3c+2=0，

时，f（A）最大值为，

此时△ABC为直角三角形， 此时△ABC的外接圆半径：

…12分

19．如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面DEF⊥平面ABC．

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【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；

（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可 【解答】证明：（1）因为D，E是PC，AC中点， ∴PA∥DE

∵DE?平面DEF，PA?平面DEF， ∴PA∥平面DEF；

（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点， ∴PA=2DE，BC=2FE ∵PA=6，BC=8，DF=5 ∴DE=3，EF=4，DF=5， ∴DE2+EF2=DF2∴DE⊥EF， ∵PD=AD，D为PC的中点 ∴AD=DC

∵E为AC的中点， ∴DE⊥AC ∵AC∩EF=E，

∴DE⊥平面ABC， ∵DE?平面DEF，

∴平面DEF⊥平面ABC．

20．已知{an}是各项均为正数的数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a5﹣3b2=7.2a﹣an+1）an﹣an+1=0（n∈N*） （1）求{an}和{bn}的通项公式；

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+（2

（2）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）利用

得：an+1（an+1）=2an（an+1）．根据{an}

．再利用等比数列的通项公式可得an．再利用等差数列的通

的各项都为正数，可得

项公式可得bn．

（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（1）由

得：an+1（an+1）=2an（an+1）．

．

∵因为{an}的各项都为正数，∴

故{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 因此数列{an}的通项公式为

．

设数列{bn}的公差为d，由a5﹣3b2=7，b1=1得d=2， ∴数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．

（2）由（1）知cn=（2n﹣1）?2n﹣1，设{cn}的前n项和为Sn， 则Sn=1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1， 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n， 上述两式相减，得

﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）×2n =2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n =﹣（2n﹣3）×2n﹣3，

所以Sn=（2n﹣3）?2n+3，n∈N*．

21．已知圆心为C的圆：（x﹣a）2+（y﹣b）2=8（a，b为正整数）过点A（0，1），且与直线y﹣3﹣2=0相切． （1）求圆C的方程；

（2）若过点M（4，﹣1）的直线l与圆C相交于E，F两点，且?=0．求直线l的方程．

【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）根据直线和圆相切的关系求出圆的半径，即可求圆C的方程；

（2）将直线和圆联立，根据条件∠ECF=90°，根据点到直线啥单位距离即可得到结论． 【解答】解：（1）圆C为（x﹣a）2+（y﹣b）2=8（a，b）为正整数， ∴圆C的半径为，圆心为（a，b） 圆C过点A（0，1）且与直线相切， ∴

∴，

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