!!!!全国重点大学（清华北大复旦交大同济等）自主招生保送生数学试题整理26套

11．（本题满分12分）设抛物线y=x2?(2k?7)x?4k?12与直线y=x有两个不同的交点，且交点总可以被一个

半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？

P 12．（本题满分12分）设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方

形，且PA⊥面ABCD．

(1) 求证：直线PC⊥直线BD；

(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高．

E A D B C 13．（本题满分12分）设有抛物线y2=2px(p>0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物

线上，试问：点C在什么范围之内时∠BAC是锐角？

上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分） 1．方程x?px?88214． ?0的两根x1,x2满足x14?x2?2?2，则p?_________（p?R）22p41?,x?(0,)，则x=________________． 12821n?112004)，则n?______________． 3．已知n?Z，有(1?)?(1?n20042．sinx?cosx?4．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一个边长为

，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面62的正六边形上（如下图）体的体积为_____________．

5．已知23?3?3x?3y，x、y?R，则(x,y)=_______________．

6．22?42?62?82???(?1)n?1(2n)2=___________．

7．若z3=1，且z?C，则z3?2z2?2z?20?_____________． 8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_______________． 9．4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为______，恰好只有一封装错的概率为_______． 10．已知等差数列{an}中，a3?a7?a11?a19?44，a5?a9?a16=______________． 二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）

1．x?ax?bx?c?0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．

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2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得

(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍； 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．

ax2?8x?b3．y?的最大值为9，最小值为1，求实数a,b．

x2?1

4．已知月利率为?，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于?的函数关系式（假设贷款时间为2年）．

5．对于数列{an}：1,3,3,3,5,5,5,5,5,?，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都有an?r?． [n?s]?t恒成立（[x]表示不超过x的最大整数）

2005年复旦大学考试试卷

一、填空题：

x1?xC2C1．A=x?R|log2x?x?1?0，B=x?R|2?2?1，A?B=______ (B表示B在R上的

??????补集)． 2．数x满足x?11??1，求x300?300?_______． xx3．求?=53sin??5cos?的圆心坐标，???0,2??

4．抛物线y?2x2?2ax?a2与直线y?x?1交于A和B两点，AB最大时, a=______． 5．limn???n2?n?1?n2?n?1?________．

n(n?1)?______． 2?6．求1+3+6+?＋

7．一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为________． 8．求31000在十进制中最后4位_____________________．

9．定义在R上的函数f(x)（x?1)满足 f?x??2f?10．求y??x?2002???4015?x，则f(2004)?______．

x?1??1?sinx的最大值是__________________．

2?cosx二、解答题

x2y21．在四分之一个椭圆2?2?1（x>o, y>0）上取一点P，使过P点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角

ab形的面积最小．

2．在ΔABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求

AC． AB3．在正方体A B C D—A1B1C1D1中，E、F、G点分别为AD、AA1、A1B1中点， 求：(1) B到面EFG距离；(2) 二面角G—EF—D1平面角?． 4．在实数范围内求方程：410?x?47?x?3的实数根． 5．已知sin??cos??a0?a??2，求sinn??cosn?关于a的表达式．

?6．直线l与双曲线xy?1交于P和Q两点，直线l与x轴交于A，与y轴交于B，求证：AP?BQ．

4x?1??2??n?1?7．定义在R上的函数f?x??x，Sn?f???f?????f?? n=2,3,?

nnn4?2??????(1) 求Sn； (2) 是否存在常数M>0，?n?2，有

111?????M． S2S3Sn?1