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!!!!全国重点大学(清华北大复旦交大同济等)自主招生保送生数学试题整理26套

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  • 2025/7/5 20:32:35

11.(本题满分12分)设抛物线y=x2?(2k?7)x?4k?12与直线y=x有两个不同的交点,且交点总可以被一个

半径为1的圆片所同时遮盖,试问:实数k应满足什么条件?

P 12.(本题满分12分)设四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方

形,且PA⊥面ABCD.

(1) 求证:直线PC⊥直线BD;

(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值,求此时四棱锥P—ABCD的高.

E A D B C 13.(本题满分12分)设有抛物线y2=2px(p>0),点B是抛物线的焦点,点C在正x轴上,动点A在抛物

线上,试问:点C在什么范围之内时∠BAC是锐角?

上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

一、填空题(每小题5分,共50分) 1.方程x?px?88214. ?0的两根x1,x2满足x14?x2?2?2,则p?_________(p?R)22p41?,x?(0,),则x=________________. 12821n?112004),则n?______________. 3.已知n?Z,有(1?)?(1?n20042.sinx?cosx?4.将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分(如左图),将这6部分接于一个边长为

,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,该多面62的正六边形上(如下图)体的体积为_____________.

5.已知23?3?3x?3y,x、y?R,则(x,y)=_______________.

6.22?42?62?82???(?1)n?1(2n)2=___________.

7.若z3=1,且z?C,则z3?2z2?2z?20?_____________. 8.一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬,从一对角线一端到另一端最短距离为_______________. 9.4封不同的信放入4只写好地址的信封中,装错的概率为______,恰好只有一封装错的概率为_______. 10.已知等差数列{an}中,a3?a7?a11?a19?44,a5?a9?a16=______________. 二、解答题(第1题8分,第2、3、4题各10分,第5题12分)

1.x?ax?bx?c?0的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数,求a,b,c的值.

32

2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得

(1) 最大角是最小角的两倍;(2) 最大角是最小角的三倍; 若存在,求出该三角形;若不存在,请说明理由.

ax2?8x?b3.y?的最大值为9,最小值为1,求实数a,b.

x2?1

4.已知月利率为?,采用等额还款方式,则若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于?的函数关系式(假设贷款时间为2年).

5.对于数列{an}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?,即正奇数k有k个,是否存在整数r,s,t,使得对于任意正整数n都有an?r?. [n?s]?t恒成立([x]表示不超过x的最大整数)

2005年复旦大学考试试卷

一、填空题:

x1?xC2C1.A=x?R|log2x?x?1?0,B=x?R|2?2?1,A?B=______ (B表示B在R上的

??????补集). 2.数x满足x?11??1,求x300?300?_______. xx3.求?=53sin??5cos?的圆心坐标,???0,2??

4.抛物线y?2x2?2ax?a2与直线y?x?1交于A和B两点,AB最大时, a=______. 5.limn???n2?n?1?n2?n?1?________.

n(n?1)?______. 2?6.求1+3+6+?+

7.一个班20个学生,有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到1个女生的概率为________. 8.求31000在十进制中最后4位_____________________.

9.定义在R上的函数f(x)(x?1)满足 f?x??2f?10.求y??x?2002???4015?x,则f(2004)?______.

x?1??1?sinx的最大值是__________________.

2?cosx二、解答题

x2y21.在四分之一个椭圆2?2?1(x>o, y>0)上取一点P,使过P点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角

ab形的面积最小.

2.在ΔABC中,tanA:tanB:tanC=1:2:3,求

AC. AB3.在正方体A B C D—A1B1C1D1中,E、F、G点分别为AD、AA1、A1B1中点, 求:(1) B到面EFG距离;(2) 二面角G—EF—D1平面角?. 4.在实数范围内求方程:410?x?47?x?3的实数根. 5.已知sin??cos??a0?a??2,求sinn??cosn?关于a的表达式.

?6.直线l与双曲线xy?1交于P和Q两点,直线l与x轴交于A,与y轴交于B,求证:AP?BQ.

4x?1??2??n?1?7.定义在R上的函数f?x??x,Sn?f???f?????f?? n=2,3,?

nnn4?2??????(1) 求Sn; (2) 是否存在常数M>0,?n?2,有

111?????M. S2S3Sn?1

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11.(本题满分12分)设抛物线y=x2?(2k?7)x?4k?12与直线y=x有两个不同的交点,且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖,试问:实数k应满足什么条件? P 12.(本题满分12分)设四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA⊥面ABCD. (1) 求证:直线PC⊥直线BD; (2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值,求此时四棱锥P—ABCD的高. E A D B C 13.(本题满分12分)设有抛物线y2=2px(p>0),点B是抛物线的焦点,点C在正x轴上,动点A在抛物线上,试问:点C在什么范围之内时∠BAC是锐角?

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