!!!!全国重点大学（清华北大复旦交大同济等）自主招生保送生数学试题整理26套

x2sinx1?11??1，利用①的结论求lim?1?sin1?2?sin????n?sin? ②若有1??n??n6x2n??18. 若x?f?x?，称x为f?x?的不动点，f?x??2x?a x?b①若f?x?有关于原点对称的两个不动点，求a,b满足的关系； ②画出这两个不动点的草图。

19. 有50cm的铁丝，要与一面墙成面积为144cm2长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与

宽。

220. 数列?an?满足an?1?2an?1，aN?1且aN?1?1，其中N??2,3,4,??

①求证：a1?1； ②求证：a1?cosk??k?Z?。 2N?2?a?b?21. 函数f?x??lgx，有0?a?b且f?a??f?b??2f??

?2?①求a,b满足的关系；

②证明：存在这样的b，使3?b?4。

22. A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不

到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为An。 ①求An?1与An的关系； ②求limAn。

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上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1．设方程x3=1的一个虚数根为?,则?2n??n?1(n是正整数)=__________．

2．设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=___________．

3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x,y,z>0且x2+y2+z2=1，则

111??2的最小值为___________． 22xyz111??=_____________． a2bc5．若2x?2?x=2，则8x=______________． 6．若a,b,c为正实数，且3a=4b=6c，则7．(1?111)(1?)?(1?)的值为_____________． 2232n2sec2x?tgx8．函数y?的值域为______________． 2secx?tgx9．若圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则cosA=__________． 10．若a,b满足关系：a1?b2?b1?a2?1，则a2+b2=____________． 11．(x?1?219)的展开式中x9的系数是_____________． 2x12．当1?a?2时，方程a2?x2?2?|x|的相异实根个数共有_____________个．

213．若不等式0?x?ax?5?4有唯一解，则a=_______________．

14．设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且a?b?c，若b=n（正整数），则可组成这样的三角形______

个．

15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______．

16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，

现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台． 二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：

1111x2sinx??1， (1)1?2?2???2?2?；(2)已知当0?x?1时,1?23nn6x 试用此式与(1)的不等式求lim

18．（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数f(x)?

1111(sin1?2sin?3sin???nsin) n??n23n2x?a有两个关于x?b

原点对称的不动点

(1) 求a,b须满足的充要条件；

(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19．（本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现

有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．

x 144m2 y 220．（本题14分）设数列{an}满足关系an?1?2an?1(n?1,2,?)，若N满足aN?1(N?2,3,?)，

试证明：(1) |a1|?1；

(2) a1?cosk? （k为整数） N?2221．（本题16分）设f(x)?|lgx|,a,b为实数，且0?a?b,若a,b满足f(a)?f(b)?2f(试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3

a?b) 2 22．（本题16分）A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接

着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是Pn．试求：(1) Pn+1用Pn表示的式子；(2) 极限limPn

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2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知x,y?R?，x+2y＝1，则

22?的最小值是______________． xy4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．

5．已知f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1，f(2)??8，则f(?2)?_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{an}的a1?1，a2?3，3an+2?2an+1+an，求an和liman．

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12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求x50的系数．

12k14．化简：(1) 1?1!?2?2!???n?n!； (2) Cn?1?Cn?2???Cn?k．

a3?2a15．求证：4为最简分式． 2a?3a?1

16．证明不等式()?n!?()，当自然数n≥6时成立．

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