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17.若对于正实数x和y定义x?y?xy,则 x?y ( )
A.”*”是可以交换的,但不可以结合 B.”*”是可以结合的,但不可以交换 C.”*”既不可以交换,也不可以结合 D.”*”是可以交换和结合的
18.两个或两个以上的整数除以N(N为整数,N>1),若所得的余数相同且都是非负数,则数学上定义这
两个或两个以上的整数为同余.若69,90和125对于某个N是同余的,则对于同样的N,81同余于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.7 三、计算题(本题共78分)
19.(本题10分)已知函数f(x)=x2+2x+2,x∈[t,t+1]的最小值是g(t).试写出g(t)的解析表达式.
11(x?)6?(x6?6)?2xx20.(本题12分)设对于x>0,f(x)?,求f(x)的最小值. 1331(x?)?x?3xx
21.(本题16分)已知函数f1(x)?的解析表达式是什么?
22.(本题20分)已知抛物线族2y=x2-6xcost-9sin2t+8sint+9,其中参数t∈R.
(1) 求抛物线顶点的轨迹方程;
(2) 求在直线y=12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长.
23.(本题20分)设{xn}为递增数列,x1=1,x2=4,在曲线y?y Pn+1 Pn 2x?1,对于n=1,2,3,…定义fn+1(x)=f1[fn(x)].若f35(x)=f5(x),则f28(x)x?1x上与之对应的点列为
O Xn Xn+1 x P1(1,1),P2(4,2),P且以O为原点,由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部3(x3,x3),?,Pn(xn,xn)?,
342322分的面积为Sn,若{Sn}(n∈N)是公比为的等比数列,图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为(xn?1?xn),
53试求S1+S2+…+Sn+…和limxn.
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复旦大学2001年选拔生考试数学试题
一、填空(每小题5分,共45分)
1.sinx?siny?0,则cos2x?sin2y?___________________.
2.平面?1, ?2成?的二面角,平面?1中的椭圆在平面?2中的射影是圆,那么椭圆短轴与长轴之比为__________.
3.(x2+2x+2)(y2-2y+2)=1,则x+y?________________________.
4.电话号码0,1不能是首位,则本市电话号码从7位升到8位,使得电话号码资源增加____. 5.2002?83a3+82a2+8a1+a0,0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数,则a0?______________. 6.(x?115)的常数项为_________________. x7.limn(n?1?n)=__________________.
n??8.空间两平面?,?,是否一定存在一个平面均与平面?,?垂直?___________.
9.在△ABC中,cos(2A?C)=cos(2C?B),则此三角形的形状是________________. 二、解答题(共87分)
1.求解:cos3xtan5x=sin7x.
2.数列3,3?lg2,?,3?(n?1)lg2.问当n为几时,前n项的和最大?
3.求证:x∈R时,|x?1|≤4|x3?1|.
4.a为何值时,方程
lgxlg(a?x)??log2(a2?1)有解?只有一解? lg2lg2
5.一艘船向西以每小时10公里的速度航行,在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动,船与台风中心距离300米,在台风中心周围100米处将受到影响,问此船航行受台风影响的时间段长度?
1x46.x-2y=1的所有整数解(x,y),试证明:|?23|?. 3y|y|3
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2002复旦基地班数学考题
1. 已知:sinx?siny?0则cos2x?cos2y?_______________。
2. x,y?R,?x2?2x?2??y2?2y?2??1,则x?y?_______________。
3. 空间两平面?1,?2,_______________ ?3与?1,?2均垂直? (请填“存在”或“不存在”) 4. 从奇偶性看:函数y?lnx?x2?1是_______________。
5. 平面?1,?2成?角,一椭圆E??1在?2内射影为一个圆,求椭圆长轴与短轴之比
_______________。
6. 2002?83a3?82a2?8a1?a0?1?ai?7,ai?N?,a3?_______________。 7. ?ABC中,cos?2A?C??cos?2B?C?,则?ABC为_______________。
8. 若0,1作为特殊号码不能放在首位,则电话号码由7位升至8位后,理论上可以增加
_______________电话资源。
??1??9. ?3x??中不含x的项为_______________。
x??10. 解方程:cos3x?tan5x?sin7x
11. 一艘船以v1?10km/h向西行驶,在西南方向300km处有一台风中心,周围100km为暴雨
区,且以v2?20km/h向北移动,问该船遭遇暴雨的时间段长度。
12. 已知:0.3010?lg2?0.3011,要使数列3,3?lg2,?,3??n?1?lg2的前n项和最大,求n。 13. 参数a取何值时:
15logaxlogx?2a?x?1 ??loga2logx2loga2?12①有解?②仅有一解?
14. 在?0,??内,方程acos2x?3asinx?2?0有且仅有二解,求a的范围。
1x415. 证明方程:x?2y?1的任一组整数解?x,y??y?0?都有:?23?3。
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2002年交大联读班数学试卷
1. ?3?1,?是虚数,则?2n??n?1?_______________。
2. 函数y?ax?b?a,b?Z?的图象与三条抛物线y?x2?3、y?x2?6x?7、y?x2?4x?5分
别有2,1,0个交点,则?a,b??_______________。
1113. 若3a?4b?6c,则???_______________。
a2bc4. 若2x?2?x?2,则8x?_______________。
sec2x?tanx5. 函数y?的值域为_______________。 2secx?tanx1??1??1??6. ?1?2??1?2???1?2??_______________。
?2??3??n?7. 正实数x,y,z满足x2?y2?z2?1,则
111??的最小值是_______________。 x2y2z28. 一个圆内接四边形ABCD,已知AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,则
cosA?_______________。 9. 实数a,b满足a1?b2?b1?a2?1,则a2?b2?_______________。
1??10. ?x2?1??的展开式中x9的系数为_______________。
2x??11. 方程a2?x2?2?x,1?a?2,则方程有_______________个实数解。 12. ?ABC三边长a,b,c满足a?b?c,b?n,?a,b,c?N*?,则不同的三角形有_______________个。
13. 掷3个骰子,掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。 14. 若不等式0?x2?ax?5?4只有唯一实数解,则a?_______________。
15. 有两个两位数,它们的差是56,两数分别平方后,末两位数相同,则这两个两位数为
_______________。
16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E,它们各有15、7、11、3、14台机
器,现要使机器平均分配,规定机器的运输必须在相邻学校间进行,为使总的运输台数最少,则A应给B_______________台,B应给C_______________台,A给 E_______________台,总共运输_______________台。
1111n?2,n?N*?。 17. ①用数学归纳法证明以下结论:1?2?2????2?2? ?23nn9
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