高数教案第十章重积分

高 等 数 学 教 案

章节题目 教学目的 第十章 重积分 §10-1二重积分的概念及性质 课 型 理论课

理解二重积分的概念，了解二重积分性质。 重 点 二重积分的概念，性质 难 点 参考书目 教学后记 教学 过 程 如何运用二重积分的性质去解决问题 同上 教 具 （一）、复习上节内容 （二）、讲授 §10-1二重积分的概念及性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 2.平面薄片的质量 （二）二重积分的定义 1．定义： 2. 几个事实 二、二重积分的性质 三、二重积分的几何意义 （三）、 本次课内容小结 （四）、布置作业 第十章 重积分

§10-1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

（一）引例 1. 曲顶柱体的体积

设有一空间立体?,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z?f(x.y)。

当(x,y)?D时,f(x,y)在D上连续且f(x,y)?0,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域??1，??2，

，??n，以这些小区域的

边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体?分划成n个小曲顶柱体??1，??2，

，??n。

（假设??i所对应的小曲顶柱体为??i,这里??i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,

??i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1

从而 V?n???i?1i (将?化整为零)

(2) 由于f(x,y)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱

体近似地看作小平顶柱体,于是

??i?f(?i?i)??i(以不变之高代替变高, 求??i的近似值)

(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为

(?(?i?i)???i)

V??f(?i?i)??ii?1n

(4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为?, 则

V?lim?f(?i,?i)??i??0i?1n

2.平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在?x,y?处的面密度为??x,y?,这里

??x,y??0,而且??x,y?在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。

图10-1-2

将D分成n个小区域 ??1，??2，个小区域又代表它的面积。

当??max??i?很小时, 由于??x,y?连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀

1?i?n，??n，用?i记??i的直径, ??i既代表第i的, 那么第i小块区域的近似质量可取为

?(?i,?i)??i?(?i,?i)???i

于是 M???(?i?1ni,?i)??i

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二） 二重积分的定义

1．定义：设f?x,y?是闭区域D上的有界函数, 将区域D分成个小区域

M?lim??(?i,?i)??i??0i?1n??1,??2,?,??n,

其中,??i既表示第i个小区域, 也表示它的面积, ?i表示它的直径。

??max{?i}?(?,?)???iii 1?i?n

作乘积 f(?i,?i)??i作和式

(i?1,2

,n)

?f(?,?)??iii?1nni若极限 lim??0?f??,????iii?1i 存在,则称此极限值为函数f?x,y?在区域D上的二重积分,

记作

??f?x,y?d?。

D即

??f?x,y?d??lim?f??,????Dn??0iii

i?1其中: f?x,y?称之为被积函数,f?x,y?d?称之为被积表达式,d?称之为面积元素,

x,y称之为积分变量,D称之为积分区域,?f??i,?i???i称之为积分和式。

i?1n2． 几个事实

(1) 二重积分的存在定理

若f?x,y?在闭区域D上连续, 则f?x,y?在D上的二重积分存在。 声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)

??f?x,y?d?中的面积元素d?象征着积分和式中的??Di。