2013年数学高考题湖北理解析精校版

(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

x2y2x2y2C1：2?2=1，C2：2?2=1.

anamm其中a＞m＞n＞0，λ＝>1.

n(1)解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝＝

1|BD|·|OM|2111a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|， 222图1

所以

S1|BD|. ?S2|AB|在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，

|BD||yB?yD|m?n??1. ???|AB||yA?yB|m?n??1??1S=?，化简得λ2－2λ－1＝0. 若1=?，则

??1S2于是

由λ＞1，可解得λ＝2+1.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝2+1.

解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则

|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；

11|BD|·|OM|＝a|BD|， 2211S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|.

22S|BD|m?n??1所以1?. ??S2|AB|m?n??1??1S=?，化简得λ2－2λ－1＝0. 若1=?，则

??1S2S1＝

由λ＞1，可解得λ＝2+1.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝2+1.

(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k＞0)，点M(－a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则

d1?|?ak?0|1?k2?ak1?k2，d2?|ak?0|1?k2?ak1?k2，所以d1＝d2.

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图2

又S1＝

11S|BD||BD|d1，S2＝|AB|d2，所以1???，即|BD|＝λ|AB|. 22S2|AB|由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，

|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是

|AD|??1?.① |BC|??1将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得

xA?amak?m222，xB?anak?n222.

根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是

1?k2|xA?xD|2xA|AD|??

2|BC|2x1?k|xB?xC|Bma2k2?n2＝.② 222nak?m从而由①和②式可得

a2k2?n2??1.③ ?a2k2?m2????1???1n2??2t2?1?2令t=，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可解得k?.

????1?a2?1?t2?n2??2t2?1?2

因为k≠0，所以k＞0.于是③式关于k有解，当且仅当2>0，

a?1?t2?1?21?2等价于(t?1)?t?2?<0由λ＞1，可解得＜t＜1，

????1??1<1，由λ＞1，解得λ＞1+2，所以 即??????1?当1＜λ≤1+2时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞1+2时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k＞0)，

点M(－a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，

则d1?|?ak?0|1?k21?k1?k1?k11S|BD|=?. 又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以1?22S2|AB|?ak2，d2?|ak?0|2?ak2，所以d1＝d2.

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1?k2|xB?xD|xA?xB|BD|x??1????，所以A?因为.

2|AB|xB??11?k|xA?xB|xA?xBxA2k2xA2xB2k2xB2=1，2?2=1，由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，可得2?2amanxA2?xB2k2?xA2??2xB2??=0， 两式相减可得

a2m2m2?xA2?xB2?222依题意xA＞xB＞0，所以xA?xB.所以由上式解得k?222. 2a??xB?xA?xAm2?xA2?xB2?因为k＞0，所以由222，可解得10xBa??xB?x2A???1

2

22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n是正整数，r为正有理数．

＋

(1)求函数f(x)＝(1＋x)r1－(r＋1)x－1(x＞－1)的最小值；

nr?1??n?1?r?1r?n?1?r?1?nr?1

r?1r?1(3)设x∈R，记[x]为不小于．．．x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，???=?1.

2令S=381?382?383???3125，求[S]的值．

(参考数据：80?344.7,81?350.5,124?618.3,126?631.7)

(1)解：因为f′(x)＝(r＋1)(1＋x)r－(r＋1)＝(r＋1)[(1＋x)r－1]，令f′(x)＝0，解得x＝0. 当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,0)内是减函数； 当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0.

(2)证明：由(1)，当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即

＋

(1＋x)r1≥1＋(r＋1)x，且等号当且仅当x＝0时成立， 故当x＞－1且x≠0时，有

＋

(1＋x)r1＞1＋(r＋1)x.①

43434343?3???1?1?在①中，令x?(这时x＞－1且x≠0)，得?1??n?n?＋

＋

＋

r+1>1+r?1. n上式两边同乘nr1，得(n＋1)r1＞nr1＋nr(r＋1)，即

?n?1?r?1?nr?1n?.②

r?1r当n＞1时，在①中令x??1(这时x＞－1且x≠0)，类似可得 nnr?1??n?1?r?1n?.③

r?1r且当n＝1时，③也成立． 综合②，③得

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nr?1??n?1?r?1?n?1?r?1?nr?1r?n?.④

r?1r?11(3)解：在④中，令r?，n分别取值81,82,83，?，125，得

3444343(813?803)＜381＜(823?813)， 444444333333(82?81)＜82＜(83?823)， 444444333(833?823)＜83＜(843?833)， 44??

4444333333(125?124)＜125＜(126?1253)． 44将以上各式相加，并整理得

444433(1253?803)＜S＜(1263?813)． 44444433代入数据计算，可得(1253?803)?210.2，(1263?813)?210.9.

44由[S]的定义，得[S]＝211.

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