(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习知能专练(九)数列的通项

知能专练（九） 数列的通项

一、选择题

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8

B．10 C．12 D．14

解析：选C 设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.

2．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn }满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝( )

A．2－1 C．2

n＋1n B．2＋1 D．2

n－1

n－1 ＋2

解析：选B 据已知易得an＝2n－1，故由bn＋1＝abn可得bn＋1＝2bn－1，变形为bn＋1－1＝2(bn－1)，即数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn－1＝2，解得bn＝2＋1.故选B.

3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5且对于大于2的正整数，总有an＝an－1－an－2，则

nna2 018等于( )

A．－5

B．5 C．－3 D．3

解析：选B an＋6＝an＋5－an＋4＝an＋4－an＋3－an＋4＝－(an＋2－an＋1 )＝－an＋2＋an＋1＝－(an＋1－an)＋an＋1＝an，故数列{an}是以6为周期的周期数列，∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝5，故选B.

1?1?n*

4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋??(n≥2，且n∈N)，则数列{an}的通项公式为

3?3?( )

A．an＝

3n n＋2

B．an＝

n＋2

3

n nC．an＝n＋2 D．an＝(n＋2)3

1?1?n*nn－1n－1n－2

解析：选B 由an＝an－1＋??(n≥2且n∈N)，得3an＝3an－1＋1,3an－1＝3an－2＋1，…，

3?3?3a2＝3a1＋1，以上各式相加得3an＝n＋2，故an＝

2

nn＋2

3

n. 2

5．(2017·宝鸡模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)an，则数列{an}的通项公式为an＝( )

A．(n＋1) C．8n

2

3

B．(2n＋1) D．(2n＋1)－1

22

2

解析：选A 当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)?n＋2?an?n＋1?an－1?n＋2?an?n＋1?an－1

＝，得4(Sn－1＋1)＝，两式相减得，4an＝－，n＋1nn＋1n2

2

2

2

- 1 -

33

an?n＋1?3anan－1a2?n＋1?n33即＝，所以an＝··…··a1＝·3·…·3·8＝(n＋an－1n3an－1an－2a1n3?n－1?2

1)，经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1).

1*

6．在各项均不为零的数列{an}中，若a1＝1，a2＝，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N)，则a2 018

3＝( )

A.C.1

4 0331

4 035

1 B.

4 0341 D.

4 037

*

33

解析：选C 因为2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N)，所以

2

an＋1anan＋2

?1?11

＝＋，所以??是等差数列，

?an?

11111

其公差d＝－＝2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，an＝，所以a2 018＝.

a2a1an2n－14 035

二、填空题

7．已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.

解析：因为an＋1－an＝2，所以{an}为等差数列且公差d＝2，由a1＋2d＝3得a1＝－1，所以

an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.

答案：6 2n－3

8．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则{an}的通项公式an＝________.

解析：因为{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，且S1＋3a1＝4,2S2＋4a2＝8，则该等差数列的公差为4，所以nSn＋(n＋2)an＝4＋4(n－1)＝4n，即Sn＋减整理得

n＋2n＋1

an＝4，Sn－1＋an－1＝4(n≥2)，两式相nn－1

anna2a3an123nn＝(n≥2)，则an＝a1···…·＝n－1×1×××…×＝n－1，an－12?n－1?a1a2an－1212n－12

n经验证n＝1时也符合，所以an＝n－1. 2

答案：

n2

n－1

9．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．

- 2 -

解析：设△A1B1O的面积为S0，梯形AnBnBn＋1An＋1的面积为S?

?a1?2

S0＋S?a2?

S0

＝???S＝3S0，

S0＋nS?an＋1?2?1＋3n＝?an＋1?2.

＝????S0＋?n＋1?S?an＋2?4＋3n?an＋2?

3n－2?an?2

由上面2种情况得＝??

3n＋1?an＋1????????·…·?

?a1?2?a2?2?a3?2aaa?an?2＝?a1?2＝1·4·7·…·3n－2＝1??a1?2＝1?a?????n＋1

aaa?2??3??4??n＋1??n＋1?4710

3n＋13n＋1?n＋1?3n＋13n＋1，且an－2，n∈N*

1＝1?an＝3.

答案：a*

n＝3n－2，n∈N 三、解答题

10．已知数列{an－1

n}满足a1＝1，an＝3＋an－1(n≥2)．

(1)求a2，a3； n(2)证明：a＝3－1

n2.

解：(1)易知a2＝4，a3＝13. (2)证明：由于an－1

n＝3＋an－1(n≥2)，

∴a1

n－an－1＝3

n－(n≥2)．

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 nn＝3

n－1

＋3

n－2

＋…3＋1＝3－12(n≥2)，经检验，n＝1时也满足上式，故a3－1

n＝2

. 11．数列{a1

n}满足a1＝1且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1)，记bn＝

(n≥1)．

a1n－

2(1)求b1，b2，b3，b4的值；

(2)求数列{bn}的通项及数列{anbn}的前n项和Sn. 解：(1)由b1

n＝

，得a11

n＝＋. a1bn2n－

2代入递推关系8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0， 整理得

4

b－6

n＋1bnb＋3

＝0.

n＋1bn即b4

n＋1＝2bn－3.

由a1＝1得b1＝2， 所以b820

2＝3，b3＝4，b4＝3

. - 3 -

＝