2020年山东省济南市市中区育英教育集团中考数学一模试卷 解析版

＝45°建立方程化简即可；

（3）先判断出△ABQ∽△CPB，得出比例式即可得出结论．

【解答】解：（1）∵将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，

∴∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝A1P，BP＝B1P， ∴∠AA1P＝∠A1AP＝

＝

∴∠PAA1＝∠PBB1，

（2）假设在α角变化的过程中，存在△BEF与△AEP全等， ∵△BEF与△AEP全等， ∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠BAE＝β， ∵AP＝A1P， ∴∠A1AP＝∠AA1P＝∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴β+

＝45°，

， ，

＝

，∠BB1P＝∠B1BP＝

∴α﹣2β＝90°，

（3）当α＝90°时，

∵AP＝A1P，BP＝B1P，∠APA1＝∠BPB2＝90°， ∴∠A＝∠PBB1＝45°，

∵∠A＝∠C，∠AQB＝∠C+∠QBC＝45°+∠QBC＝∠PBC， ∴△ABQ∽△CPB， ∴∵AB＝

， ，

∴∴y＝

， ．

27．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．

（1）求二次函数表达式；

（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；

（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．

（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．

（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）

∴ 解得：

∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2

（2）如图1，记直线BP交x轴于点N，过点P作PD⊥x轴于点D 设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3） ∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2 设直线BP解析式为y＝kx﹣2 把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2 ∴k＝t﹣

∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2

当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴N（∵t＞3 ∴t﹣2＞1 ∴∴AN＝3﹣

，即点N一定在点A左侧

，0）

∵S△PBA＝S△ABN+S△ANP＝AN?OB+AN?PD＝AN（OB+PD）＝4 ∴

解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去） ∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，

（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．

）

＝4

如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F ∴AB垂直平分OE ∴BE＝OB，OG＝GE ∴∠ABO＝∠ABM

∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90° ∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝

，cos∠OAB＝

∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OG ∴OG＝∴OE＝2OG＝

∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90° ∴∠OAB＝∠BOG

∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝∴EF＝∴E（

，﹣

OE＝）

，OF＝

，cos∠BOG＝OE＝

设直线BE解析式为y＝ex﹣2 把点E代入得：∴直线BE：y＝﹣当﹣

e﹣2＝﹣x﹣2

，解得：e＝﹣

x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝

，即点M到y轴的距离为

．

∴点M横坐标为