第十三章函数列与函数项级数

limmaxfn?(x)?f??x??limmaxn??x??0,1?nx1??0

n??x??0,1?1?n2x22所以函数列fn?(x)在??0,1??上不一致收敛,但是对于任意的??0

limsupfn?(x)?f??x??limsupn??x???,1???nxn?lim?0

n??x???,1?1?n2x2n??1?n2?所以函数列

?f?(x)?在?0,1?上内闭一致收敛,由推论可知在?0,1?上

n?limfn?(x)?limfn(x)?0

n???n???下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出.

定理13.12（连续性） 若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛,且每一项un(x)都连

n?1?续,则其和函数也在区间[a,b]上连续.

注：在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即 ?(limun(x))?lim(?un(x)).

n?1x?x0x?x0n?1??定理13.13（逐项求积）若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛,且每一项un(x)都

n?1?连续,则

?ba(?un(x))dx???un(x)dx.

n?1n?1a??b注：即在一致收敛的条件下,求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序.

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定理13.14（逐项求导） 若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上每一项un(x)都有连续导函

n?1??(x)在区间[a,b]上一致收敛,则 数,x0?[a,b]为函数项级数?un(x)的收敛点,且?unn?1n?1??dd?(un(x))?(?un(x)). ?dxn?1n?1dx?注：即在一致收敛的条件下,求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序.

?122 例3 设un(x)?3ln(1?nx),n?1,2,?证明函数项级数?un(x)在区间[0,1]上一致收

nn?1敛,并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性、可微性. 例4(第四版课本上例题) 证明函数??x???

1在?1,???上有连续的各阶导函数 xnn?1? 13-1-18