苏教版必修四第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示1 平面向量基本定理（习题+解析）

高中平面向量基本定理 数学 （答题时间：40分钟） 1. 下列关于基底的说法正确的是________。（填序号） ①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；

③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的。 **2. 设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则

n＝________。 m3. 设一直线上三点A，B，P满足AP?mPB（m≠－1），O是直线所在平面内一点，则OP用OA，OB表示为________。

**4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若CE＝rAB＋sAC，则r＋s＝________。

**5. 已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且BD?DC，AE?2EC，

AF?2FB，则2AD?3BF?3CE＝________。

**6. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________。

*7.（保定高一检测）设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a。

8. 平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设AB＝b，AD＝d，AM＝m，AN＝n。

（1）以b，d为基底，表示MN； （2）以m，n为基底，表示AB。

**9. 如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP?4PM。

1. ①③ 解析：作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确。

2. 2 解析：由e1＋2e2＝λ（me1＋ne2），得mλ＝1且nλ＝2，

n＝2。 mOA?mOB3. OP? 解析：由AP＝mPB得OP－OA＝m（OB?OP），

1?m11114. ? 解析：由E是AD的中点，则CE?(CA?CD)＝－AC?CB＝－

222411131AC?(AB?AC)?AB?AC，则r＋s＝－。 24442∴

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1(AB?AC)，所以2AD?AB?AC，再由AE2＝2EC，AF?2FB，可知3BF＝BA，3CE＝CA，所以2AD＋3BF＋3CE＝0。

416. 解析：设BC＝b，BA＝a，则AF?b－a，

321AE＝b－a，AC＝b－a，代入AC＝?AE??AF，

2??得b－a＝（λ＋）b－（＋μ）a，

22??1???,?24?2即?解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝。

33?1????,?2?5. 0 解析：由BD?DC，易知AD?7. 解：设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R则，

－e1＋3e2＝λ1（4e1＋2e2）＋λ2（－3e1＋12e2）， 即－e1＋3e2＝（4λ1－3λ2）e1＋（2λ1＋12λ2）e2，

1????,??4?1?3?2??1,17?118∴? ∴? ∴a＝－b＋c。

72??12??3,18272?1???,2?27?8. 解：如图所示，

（1）MN?AN?AM?(AB?BN)－(AD?DM)＝（b＋－

111d）－（d＋b）＝b2221d。 2（2）m＝AD?DM＝d＋n＝AB?BN?AB?1AB，① 21d， 2所以2n＝2AB＋d，②

42n－m。 339. 【证明】记BM＝e1，CN＝e2，所以AC＝－3e2，CM＝－e1，

由①②消去d，得AB?则AM＝AC?CM＝－3e2－e1，BN＝BC?CN＝2e1＋e2，因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－3λe2－λe1，BP＝μBN＝2μe1＋μe2，

所以BA?BP?PA＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1

＝（2μ＋λ）e1＋（μ＋3λ）e2，又BA＝BC?CA＝2e1＋3e2，

4???,????2??2,?5所以? 解之得?

?3????3,???3,?5?第2页/共3页

所以AP?4AM， 5所以AP∶PM＝4∶1，即AP＝4PM。

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