2011年考研数学线性代数重点内容和典型题型分析

?25??75?75??25?319494321743??53132? ?54134?2048??22七． 若二次型f?x12?x2?x3?2x1x2?2?x1x3?2?x2x3经正交变换后可变为标

22准形y2，求?，?．并求出该正交变换． ?2y3八． 已知三维线性空间的一组基底为

α1??1，1，0?，α2??1，0，1?，α3??0，1，1?

求向量β??2，0，0?在上述基底下的坐标．

九．设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得Ak?O（O为n阶零矩阵），则

称A是n阶幂零矩阵．求证：

⑴. 如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵. 如果A?O是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

详解

一、单项选择题

1． C 2． C 3．B 4．C 5． D 二、填空题（每小题3分，共15分。）

1． 1 2. -3 3. -1 4.

?2A 5． ?2?a?2．

三．解：⑴ 由等式A?B?AB，得A?B?AB?E?E，即

?A?E??B?E??E

因此矩阵A?E可逆，而且?A?E??B?E．

?1 ⑵ 由⑴知，A?E??B?E?，即A??B?E??E

?1?11/20??1???1 A??B?E??E ???1/310?

?002???四． 解： 将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵：

110??1?11?01??0221??? A???0?1a?3?2b??0???321a?1???01110?1221?? 0a?10b?1??00a?10?所以，⑴ 当a?1时，r?A??r?A??4，此时线性方程组有唯一解． ⑵ 当a?1，b??1时，r?A??2，r?A??3，此时线性方程组无解． ⑶ 当a?1，b??1时，r?A??r?A??2，此时线性方程组有无穷多组解．

?x1??1??1???1??x???2???2??1?2 此时，原线性方程组的通解为???k1???k2?????。

?x3??1??0??0?????????x0???1??0??3?五．解: A??I?0得，A的特征值为?1??2??3，?3?3

对应于特征值?1??2??3的特征向量为c1(1,?2,1)T（c1?0） 对应于特征值?3?3的特征向量为c2(1,1,1)T（c2?0）。

六．所以第1、2、3列可构成一个最大无关组. 七．所作的正交变换为

?x1??1/201/2??y1????????x2????1/201/2??y2? ?x??0?y?10??3????3?八． 解：设向量β在基底?α1，α2，α3?下的坐标为?x1，x2，x3?，则有

x1α1?x2α2?x3α3?u ，

写成线性方程组的形式，有

?1??1??0??2?????????x1?1??x2?0??x3?1???0? ?0??1??1??0?????????即

?x1?x2?2??x1?x3?0 ， ?x?x?03?2得唯一解x1?1，x2?1，x3??1，因此所求坐标为?1，1，?1?． 九．证明：

⑴. 设?是矩阵A的特征值，α?0是矩阵A的属于?的特征向量，则有

Aα??α．

所以，Akα?Ak?1?Aα??Ak?1?α????kα ， 但是Ak?O，所以?kα?0，但α?0，所以??0．

⑵ 反证法：若矩阵A与对角矩阵D相似，则存在可逆矩阵P，使得

A?P?1DP．

所以，Ak?P?1DP?P?1DP?P?1DP?P?1DP?P?1DP?P?1DkP

???????????????k组??k但是，Ak?O，所以P?1DkP?O，所以Dk?O，即D?O．因此

A?P?1DP?O．这与A?O相矛盾，因此矩阵A不与对角矩阵相似．