2017年广西贵港市中考数学试卷

由勾股定理得到关于a的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

26．（10分）（2017?贵港）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC． ①写出BP，BD的长；

②求证：四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长． 【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题； ②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=DN=

=

，由△BDN∽△BAM，可得=

，由此求出AE=

=

，推出

，由此求出AM，由△ADM

=由此即可

∽△APE，可得解决问题．

，可得EC=AC﹣AE=4﹣

【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4， ∴AB=∵AD=CD=2， ∴BD=

=2

，

．

=2

，

由翻折可知，BP=BA=2

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②如图1中，

∵△BCD是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°，

∴∠ADB=∠BDP=135°， ∴∠PDC=135°﹣45°=90°， ∴∠BCD=∠PDC=90°， ∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2， ∴四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．

设BD=AD=x，则CD=4﹣x， 在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2， ∴x2=（4﹣x）2+22， ∴x=，

∵DB=DA，DN⊥AB， ∴BN=AN=

，

==

，

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在Rt△BDN中，DN=由△BDN∽△BAM，可得

，

∴=，

∴AM=2， ∴AP=2AM=4，

由△ADM∽△APE，可得

=

，

∴=，

，

=，

∴AE=

∴EC=AC﹣AE=4﹣

易证四边形PECH是矩形， ∴PH=EC=．

【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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