2013年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算43?22?41?242?（B） （A）2?1 （B）1 （C）2 2.满足等式?2?m?m2?m?2（D）2

?1的所有实数m的和为（A）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

?CAB?15，3.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，?ABC的平分线交圆O于点D，

若CD?o3，则AB=（A）

（C）22 （D）3

（A）2 （B）6

24.不定方程3x?7xy?2x?5y?17?0的全部正整数角（x,y）的组数为（B）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC=1：2， AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（C） （A）355595115 （B） （C） （D） 71428286.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，

所有“好数”之和为（B） （A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数x,y,z满足x?y?4,z?1?xy?2y?9,则x?2y?3z? 4 32.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n(n?2)个相同的小正方体，若只有一面是

红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8

oo3.在VABC中，?A?60,?C?75,AB?10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则VDEF的周长最小值为 56 4.如果实数x,y,z满足x?y?z??xy?yz?zx??8，用A表示x?y,y?z,z?x的

222最大值，则A的最大值为

46 3第二试（A）

一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a?3c?2b?3d??ad?bc??6,求

22222?a2?b2??c2?d2?的值。

22222222解：设m?a?b,n?c?d，则2m?3n?2a?2b?3c?3d?12.

因为?2m?3n???2m?3n??24mn?24mn，即12?24mn，所以

2221 mn?6 ………………○又因为mn?a2?b2???c22 ?d2??a2c2?b2d2?a2d2?b2c2 ………………○

由○1，○2可得mn?6.即a2?b2???c2?d2??6

2,b?1,c?623,d??就是一组。 33注：符合条件的实数a,b,c,d存在且不唯一，a?二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若OP?9PBAC，求的值。 2AC解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC=∠POB。

又因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC。

又因为∠COB=∠OCA+∠OAC，所以2∠POB=2∠OAC，所以∠POB=∠OAC，所以OP∥AC。

又∠POB=∠OAC，所以VBAC:VPOB，所以又OP?ACAB?。 OBOP9AC，AB=2r，OB=r（r为圆O的半径），代入可求得 22OP=3r,AC=r.

3在RtVPOB中，由勾股定理可求得PB?OP?OB?22r。 所以

22PB22r??32。

2ACr32三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x?x?1?0的一个根，若正整数a,b,m使得等式?at?m??bt?m??31m成立，求ab的值。

解：因为t是一元二次方程x?x?1?0的一个根，显然t是无理数，且t?1?t。 等式?at?m??bt?m??31m即abt?m?a?b?t?m?31m，

22222即ab?1?t??m?a?b?t?m?31m，即??m?a?b??ab??t?ab?m?31m?0.

2????a?b?31?m,?m?a?b??ab?0,因为a,b,m是正整数，t是无理数，所以?于是可得? 22??ab?31m?m.?ab?m?31m?0,因此，a,b是关于x的一元二次方程x??m?31?x?31m?m?0的两个整数根，该方程

22的判别式???m?31??431m?m2?2???31?m??31?5m??0.

31. 5又因为a,b是正整数，所以a?b?31?m?0，从而可得0?m?又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有m?6符合要求。 把m?6代入可得ab?31m?m?150.

第二试（B）

一、 （本题满分20分）已知t?成立，求ab的值。 解：因为t?22?1，若正整数a,b,m使得等式?at?m??bt?m??17m2?1，所以t2?3?22.

22等式?at?m??bt?m??17m即abt?m?a?b?t?m?17m, 即ab3?22?m?a?b????2?1?m2?17m，

?2整理得??m?a?b??2ab???2???3ab?m?a?b??m?17m???0

于是可得???a?b?2?17?m?, 2??ab?17m?m.a,b是关于x的一元二次方程x2?2(m?17)x?17m?m2?0……○因此，1的两个整数根，

方程○1的判别式??4?m?17??417m?m2?2??4?17?m??17?2m??0.

17 2又因为a,b,m是正整数，所以a?b?2?17?m??0，从而可得0?m?又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有m?8符合要求，

把m?8代入得ab?17m?m?72。

二、（本题满分25分）在?ABC中，AB>AC，O、I分别是?ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI。求证：

2（1）OI∥BC；

（2）S?AOC?S?AOB?2S?AOI。

证明（1）作OM⊥BC于M，IN⊥BC于N。 设BC=a，AC=b，AB=c。 易求得CM=

111a，CN=?a?b?c?，所以MN=CM-CN=?c?b?=OI， 222又MN恰好是两条平行线OM，IN之间的垂线段，所以OI也是两条平行线OM，IN之间的

垂线段，所以OI∥MN，所以OI∥BC。

（2）由（1）知OMNI是矩形，连接BI，CI，设OM=IN=r（即为?ABC的内切圆半径），则

SVAOC?SVAOB??SVAOI?SVCOI?SVAIC???SVAIB?SVAOI?SVBOI?1111?2SVAOI?SVBOI?SVCOI?SVAIC?SVAIB?2SVAOI??OI?r??OI?r??AC?r??AB?r222211???2SVAOI?r??OI?b?c??2SVAOI.22?? 三

、（

本

2题满分

225分）

2若正数

a,b,c代

满足

?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2??????????32bc2ca2ab??????，求数式

b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2??的值。

2bc2ca2ab解：由于a,b,c具有轮换对称性，不妨设0?a?b?c. （1）若c?a?b，则c?a?b?0,c?b?a?0，从而得：

b?c?a2bc222?c?b??1?2?a22bc22?1,

?c?a??b?1, c2?a2?b2?1?2ca2caa?b??c2?a?b?a??1??1,

2ab2ab2222?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2?所以?????????3，与已知条件矛盾。

2bc2ca2ab??????（2）若c?a?b，则0?c?a?b,0?c?b?a，从而可得：

222?c?b??a?1, b2?c2?a20??1?2bc2bc22c?a??b2?c?a?b0??1??1,

2ca2ca2222?a?b??c?1, a2?b2?c20??1?2ab2ab22a2?b2?a2?a?b??c??1??1,

2ab2ab22?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2?所以?????????3，与已知条件矛盾。

2bc2ca2ab??????综合（1）（2）可知：一定有c?a?b.

222b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2?1,?1,??1 于是可得

2bc2ca2abb2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2???1. 所以

2bc2ca2ab