2019-2020学年天津市武清区数学高二(下)期末联考试题含解析

【详解】

（1）证明：因为AD∥BC，AE?AD，所以BC⊥AE， 又AC?BC，AC?AE?A，所以BC⊥平面SAC， 又BC?平面ABCD，所以平面SAC?平面ABCD.

（2）

如图，作SO?AC于点O，过点O作Ox//BC， 则Ox，OC，OS两两垂直，故以O为坐标原点，

直线Ox，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 设BC?1，则SC?1，SD?2，AD?1，所以SA?3， 又AC?2，所以SA?SC，SO?33，AO?，

22?3?3?3????1?A0,?,0D?1,?,0CS0,0,O(0,0,0)所以，?，???，??，?0,,0?. ??2?2?2????2???133?因为F为SD的中点，所以F???2,?4,4??.

??uuuv?133?uuuvAF???,,?244??，AC?(0,2,0)，

??r令n?(x,y,z)为平面FAC的法向量，

v?1vuuu33?n?AF?0,??x?y?z?0,v则有?vuuu即?2 44?n?AC?0,?2y?0,?r?3?不妨设z?3，则n??,0,3?.

?2?uuuv?3?易知平面ABC的一个法向量为OS???0,0,2??，

??vvuuuuuuvn?OSvcos?n,OS??vuuuv?nOS3272?. 7213?22因为二角F?AC?B为钝角， 所以二面角F?AC?B的余弦值为?【点睛】

本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键 20．已知曲线C的参数方程?27. 7?x?2cos?（?为参数），在同一直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变

y?3sin????1x?x??2换?得到曲线C?. ?y??1y?3?（1）求曲线C?的普通方程；

（2）若点A在曲线C?上，已知点B?2,0?，求直线AB倾斜角的取值范围.

????5??22，?? x?y?1【答案】（1）（2）?0,????6??6?【解析】 【分析】

（1）按照坐标变换先得到曲线的参数方程，再化简为普通方程. （2）先计算AB与圆相切时的斜率，再计算倾斜角的范围. 【详解】

??1x?x??x??cos??2Q,?(1)? ??1y?sin??y??y??3?消去?得C?的普通方程x?y?1 （2）当AB与圆相切时，∠ABO?30o

22????5??33，??. 或—，直角倾斜角的取值范围为?0,????k??6??6?33【点睛】

本题考查了参数方程，坐标变换，倾斜角范围，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．已知平面内点P?x,y?到点F的距离和到直线x?2的距离之比为（，10）C．

（I）求曲线C的方程；

2，若动点P的轨迹为曲线2（II）过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：?OMA??OMB． （2，0）x2【答案】（I）?y2=1（II）见解析

2【解析】 【分析】

（I）根据题目点P?x,y?到点F的距离和到直线x?2的距离之比为（，10）简可得轨迹C的方程；

（II）对直线l分l?x轴、l与x轴重合以及l存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当l存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C的方程进行联立，结合韦达定理，可推得kMA?kMB?0，从而推出?OMA??OMB． 【详解】

解：（I）∵P(x,y)到点F(1,0)的距离和到直线x?2的距离之比为

2，列出相应的等式方程，化22. 2(x?1)2?(y?0)22∴，x?2. ?|x?2|2x2化简得：?y2=1．

2x2故所求曲线C的方程为：?y2=1.

2（II）分三种情况讨论：

1、当l?x轴时，由椭圆对称性易知：?OMA??OMB．

2、当l与x轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：?OMA??OMB?0 3、设l为：y?k(x?1)，k?0，且Ax1,k?x1?1?，Bx2,k?x2?1?，

?????y?k(x?1)?22222k?1x?4kx?2k?2?0， 由?x2化简得：??2??y?1?24k22k2?2∴x1+x2=，x1x2? 222k+12k?1设MA,MB，所在直线斜率分别为：kMA，kMB，则

kMA?kMB?k?x1?1??0x1?2?k?x2?1??0x2?2?k?2x1x2?3?x1?x2??4x1x2?2?x1?x2?

2k2?24k22?2?3?2?42k?12k?1?k? 2k2?24k2?2?22k2?12k?14k2?4?12k2?8k2?4 ?k??6k2?2?0

此时，?OMA??OMB．

综上所述：?OMA??OMB. 【点睛】

本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题．解决直线与圆锥曲线位置关系中常用的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设而不求的整体代入的技巧与方法．

22．已知以点M为圆心的圆经过点A(?1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆M于点C和D，且

CD?210．

（1）求直线CD的方程； （2）求圆M的方程．

22【答案】（1）x?y?3?0；（2）x2?(y?3)2?10或(x?2)?(y?1)?10.

【解析】 【分析】

（1）先求得直线AB的斜率和AB的中点，进而求得CD斜率，利用点斜式得直线CD 方程．

（2）设出圆心M的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a和b的等式综合求得a和b，则圆的方程可得． 【详解】

（1）Q直线AB的斜率k?1，AB的中点坐标为?1,2?

?直线CD的方程为x?y?3?0

（2）设圆心M?a,b?，则由点M在CD上，得a?b?3?0．① 又Q直径CD?210，? MA?10，??a?1??b2?10．②

2?a?0?a?2由①②解得?或?，?圆心M?0,3?或?2,1?

b?3b?1???圆M的方程为x2??y?3??10或?x?2???y?1??10

【点睛】

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