[金版学案]高考数学理科二轮复习习题：专题第二讲 三角变换与解三角形含答案

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

第二讲 三角变换与解三角形

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2tan αsin 2α＝2sin_αcos_α，tan 2α＝，

1－tan2αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． 它的双向应用分别起到了缩角升幂和扩角降幂的作用．

三角恒等式的证明方法有：

1．从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． 2．等式的两边同时变形为同一个式子． 3．将式子变形后再证明．

1．正弦定理及其变形．

abc＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)． sin Asin Bsin C(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝

abc，sin_B＝，sin C＝； 2R2R2R

(3)asin B＝bsin_A，bsin C＝csin B，asin C＝csin_A； (4)abc＝sin_Asin_Bsin_C． 2．余弦定理及其变形．

222

b＋c－a(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A，cos A＝；

2bc222c＋a－b(2)b2＝c2＋a2－2cacos B，cos B＝；

2ca222a＋b－c(3)c2＝a2＋b2－2abcos_C，cos C＝．

2ab3．△ABC的面积公式．

1

(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)；

2

111abc

(2)S＝absin_C＝acsin_B＝bcsin_A＝(R为△ABC外接圆半

2224R径)；

1

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(×) (2)设α∈(π，2π)，则

1－cos（π＋α）α＝sin.(×)

22

(3)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(×)

(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2

＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．(×)

(5)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于

3

.(×) 2

3

1．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝(A)

524121224A．－ B．－ C. D.

25252525

2．(2014·新课标Ⅱ卷) 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为1．

解析：由已知得，f(x)＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2cos xsin φ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)≤1，故函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为1.

sin 2A3．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝1．

sin C

sin Aa

解析：由正弦定理得＝，

sin Ccb2＋c2－a2

由余弦定理得cos A＝，

2bc∵ a＝4，b＝5，c＝6，

sin 2A2sin Acos Asin A452＋62－42∴ ＝＝2··cos A＝2××＝1.

sin Csin Csin C62×5×64．(2015·新课标Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是(6－2，6＋2)．

解析：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF＜AB＜BE.

在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°， CF＝BC＝2，

∴ BF＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2.

在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°， BE＝CE，BC＝2，

2BE

＝，

sin 75°sin 30°

6＋22

∴ BE＝×＝6＋2.

142∴ 6－2＜AB＜6＋2.