2007年高考理科数学（山东）卷

?a2?a2?2a2?44333a2?3． 2所以二面角A31?BD?C1的余弦值为3． 解法三：

（Ⅰ）证明：如解法一图，连结AD1，AE， 设AD1?A1D?G，AE?BD?F，连结GF， 由题意知G是A1D的中点，又E是CD的中点，

?四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点，?在△AED1中，GF∥D1E，

又GF?平面A1BD，D1E?平面A1BD，

?D1E∥平面A1BD．

（Ⅱ）如图，在四边形ABCD中，设AD?a， ?AB?AD，AD?DC，AB∥DC， ?AD?AB． 故BD?2a，由（Ⅰ）得

BC2?BE2?EC2?a2?a2?2a2，DC?2a， ?∠DBC?90?，即BD?BC．

又BD?BB1，

?BD?平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，

?BD?BC1，

取DC1的中点M，连结A1F，FM， 由题意知：?FM∥BC1，

?FM?BD．

又A1D?A1B，?A1F?BD．

D1

H C1A1 B1

M D

E

F C A B

?∠A1FM为二面角A1?BD?C1的平面角．

连结A1M，在△A1FM中， 由题意知：

A1F?32116a，FM?BC1?BC2?CC12?a， 2222取D1C1的中点H，连结A1H，HM， 在Rt△A1HM中，

?A1H?2a，HM?a， ?A1M?3a．

A2?cos∠A1F2?FM?A1M21FM?2A

1F?FM92a2?3a2?3a2?2 2?32a?62a?33． ?二面角A31?BD?C1的余弦值为

3． （20）（本小题满分12分）

解法一：如图，连结A1B1，由已知A2B2?102，

A201A2?302?60?102，

?A1A2?A2B1，

又∠A?1A2B2?180?120??60?，

?△A1A2B2是等边三角形， ?A1B2?A1A2?102，

由已知，A1B1?20，

北 120? A2B2 105? AB11 乙 甲

∠B1A1B2?105??60??45?，

在△A1B2B1中，由余弦定理，

22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B2?A1B2?cos45?

?202?(102)2?2?20?102?2 2?200． ?B1B2?102．

因此，乙船的速度的大小为102?60?302（海里/小时）． 20答：乙船每小时航行302海里．

解法二：如图，连结A2B1，由已知A1B2?20，A1A2?302?20?102，60∠B1A1A2?105?，

cos105??cos(45??60?)

?cos45?cos60??sin45?sin60? 2(1?3)?，

4sin105??sin(45??60?)

北 120? A

2B2 ?105? A

1?sin45cos60?cos45sin60 ?2(1?3)．

4???B1 乙

甲

在△A2A1B1中，由余弦定理，

22A2B12?A2B2?A1A2?2A1B1?A1A2?cos105?

?(102)2?202?2?102?20??100(4?23)．

2(1?3)

4?A1B1?10(1?3)．

由正弦定理

sin∠A1A2B1?A1B1202(1?3)2?sin∠B1A1A2???， A2B24210(1?3)?∠A1A2B1?45?，即∠B1A2B1?60??45??15?，

cos15??sin105??2(1?3)．

4在△B1A1B2中，由已知A1B2?102，由余弦定理，

22B1B2?A1B12?A2B2?2A2B1?A2B2?cos15?

?102(1?3)2?(102)2?2?10(1?3)?102?2(1?3)

4?200． ?B1B2?102，

乙船的速度的大小为

102?60?302海里/小时． 20答：乙船每小时航行302海里． （21）（本小题满分12分）

x2y2解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，

ab由已知得：a?c?3，a?c?1，

?a?2，c?1，

?b2?a2?c2?3．

x2y2?1． ?椭圆的标准方程为?43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?y?kx?m，?联立?x2y2

?1.??3?4得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，

222