2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 Word版含答案

§3 双曲线

3.1 双曲线及其标准方程

课后训练案巩固提升

A组

1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )

A.双曲线 C.直线

B.双曲线的一支 D.一条射线

解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及2c>2a. 答案:D

2.在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是( )

A.-x2=1 B.-y2=1

C.x2-=1 D.y2-=1

解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0),

∴c=

答案:B

.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.

3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( ) A.2

B.4

C.6

D.8

解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2

)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.

答案:B

4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,

由

得x2-6x+8=0.

∴x=2或x=4,即c=4,a=2.

∴双曲线方程为

答案:A

=1.

5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析:∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.

由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.

设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

则=1.

整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴5a2=4b2.

又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为答案:B

=1.

6.已知双曲线为 .

=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P到点F2的距离

解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点P在双曲线右支上时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2.

答案:22或2

7.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .

解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9. 答案:9

8.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为 .

解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.

①当m>n时,由∴c=5.

=1,知a=3,b=4,

由双曲线的定义,知m-n=2a=6.

∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,

即m2+n2=(2c)2=100. 由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,

∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32.

设点P到x轴的距离为d,则

d|F1F2|=

即

d·2c=

mn.

,

.

.

|PF1||PF2|,

∴d=

即点P到x轴的距离为

②当m

答案:

9.求与双曲线=1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.

解由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为

由于点(3从而有

整理,得k2+10k-56=0,

,2)在所求的双曲线上,

=1.

=1.

∴k=4或k=-14.

又16-k>0,4+k>0,∴-4

故所求双曲线的方程为10.轨迹方程.

解设动圆的半径为r,

=1.

导学号90074075一动圆与☉A:(x+5)2+y2=49和☉B:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心P的

依题意得|PA|=r+7,|PB|=1+r,如图,

∴|PA|-|PB|=6.而A,B为定点,且|AB|=10,由双曲线的定义知P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,

又A(-5,0),B(5,0),∴|AB|=10=2c.∴c=5. 又2a=6,∴a=3,∴b2=c2-a2=16.

故其轨迹方程为=1(x≥3).

B组

1.已知双曲线的两个焦点为F1(-方程是( )

,0),F2(

,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1||PF2|=2,则该双曲线的

A.=1 B.=1

C.-y2=1 D.x2-=1

)2=20.又|PF1||PF2|=2,

解析:由题意知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2

由双曲线定义,得||PF1|-|PF2||=2a,

∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=20,

即4a2+2×2=20,∴a2=4.∴b2=c2-a2=1.

∴双曲线的方程是

答案:C

-y2=1.