第一章行列式

第一章 行列式

一. 重要公式及方法

1. 二、三阶行列式的对角线法则 2. 上、下三角形行列式

a11D?00a12a220a1na2nann?a11a21an10a22an200ann?a11a22ann

3. 副对角线一侧全为0的行列式

a11D?a21an1a12a2200a1n00?00an1an20a2,n?1a1na2nann?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1an1

4. 两类特殊的分块行列式（Laplace定理的应用，或用数学归纳法证明）

a11am1c11cn1a11?am1a1m0ammc1mcnma1mb11ammbn1a11am10bn1b1n

a1mammc11cm1b11bn1c1ncmnb1nbnnD?b11b1nbnn?bnna110D?am1b11bn1b1nbnnc11cn1a1mammc1mcnmc11cm1b11bn1c1ncmnb1na11am10a1mamm?

bnna11?(?1)mnam1a1mb11ammbn1b1n

bnn5. n阶范德蒙（Vandermonde）行列式(n?2)

1x1Dn?x12x1n?11x22x21xn2xn??n?i?j?1?x?x?

ijn?1x2n?1xn注：Dn?0?当i?j时，xi?xj.

?. 6. 设A，B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|??（1）一般的有AB?BA, 但|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

（2）当A，B不是方阵时，一般|AB|=|BA|不再成立. 7. 对于n阶方阵，有

|AT|?|A|;|A?1|?|A|(|A|?0);?1|A*|?|A|n?1(n?2);|(kA)*|?|kn?1A*|?kn(n?1)|A*|;8. 对于分块矩阵的行列式，有

Am?m00Bn?n?Am?m0Cm?nBn?n?Am?mDn?m0Bn?n?|A|?|B|；

0Bn?nAm?mCn?m?(?1mn)A|?|B| |一般地，

AB?|AD?CB|.

CD,n)是A的特征值，则|A|???i.

i?1n9. 若A为n阶方阵，?i(i?1,2,一般地，|f(A)|?f(?1)f(?2)f(?n)，其中f(A)?a0Am?a1Am?1??amE，

f(?)?a0?m?a1?m?1??am.

10. 若A与B相似，则|A|=|B|. 从而，将A的行列式的计算转化为B的行列式的计算. 一般地，有f(A)相似于f(B),从而|f(A)|?|f(B)|. 11. aij给出的行列式|aij|的重要计算方法

（1）归化：化为以上几种形式，特别是上（下）三角形行列式；

（2）降阶：将某一行（列）化为有尽可能多的零，然后行（列）展开； （3）递推：在降阶中找出高阶与低阶的关系，即递推关系.

二. 典型例题 I 逆序数 1. 设排列x1x2xn的逆序数为k，求?(xnxn?1x1)

II 行列式的计算方法 （一）定义法

?1 ?2?n???1??(n,n?1,,2,1)?1?2?n???1?n?n?1?2?1?2?n.

（二）比例法(这里的意思是把一个行列式拆成两个行列式的乘积AB?|A||B|)

1?x1y11?x1y21?x1yn1?x2yn1?xnyn

1?x2y11?x2y21?xny11?xny2（三）化三角形法

12330nnn 0?101. ?1?2?1?2?32. 箭形行列式化三角（ai?0,i?1,2,,n）

a01111a10010a20100 an注：此类题型须满足ai?0,i?1,2,,n.

3.

x1a1a1a2x2a2a3a3a3ananxn，其中xi?ai,i?1,2,,n.（考虑：若无此条件呢）

（四）降阶法

a0a11.

?10x?100000000x0000?1x

a2an?2an?1