2019年全国各地中考数学试题分类汇编（二） 专题28 解直角三角形（含解析）

解直角三角形一.选择题

1. （2019?广东省广州市?3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）

A．75m

B．50m

C．30m

D．12m

【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，

∴tan∠BAC＝解得，AC＝75， 故选：A．

，

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

2. （2019?广西北部湾经济区?3分）小菁同学在数学实践活动课中测

量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）

A.

米

B.

米

C.

米

D.

米

【答案】C 【解析】

解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，

设DF=x， ∵tan65°=

，

∴OF=xtan65°， ∴BD=3+x， ∵tan35°=

，

∴OF=（3+x）tan35°， ∴2.1x=0.7（3+x）， ∴x=1.5，

∴OF=1.5×2.1=3.15， ∴OE=3.15+1.5=4.65， 故选：C．

过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．

二.填空题

1. （2019?江苏宿迁?3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 ＜BC＜ ．

【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值． 【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°

∴∠ABC1＝30°

∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝

，

在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30°

∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2

，

＜BC＜2

．

当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时故答案为：

＜BC＜2

．

【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． www.czsx.com.cn

2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC中，BC＝6?2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________.

【答案】2

【解析】过A作AD⊥BC于D点，设AC=2x，则AB=2x，因为∠C=45°，所以AD=AC=x，则由勾股定理得BD=

AB2?AD2?3x，因为AB=6?2，

6?2,则x=2.则AC=2.

所以AB=3x?x?

3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是__________.

【答案】y?1x?1 351，0），B（0,-1），则AB=.

2210，设BC=x，则4【解析】因为一次函数y＝2x－1的图像分别交x、y轴于点A、B，则A（

过A作AD⊥BC于点D，因为∠ABC=45°，所以由勾股定理得AD=

AC=OC-OA=x2?1?10112x，解得x=10.，根据等面积可得：AC×OB=BC×AD，即x?1?=422则AC=3，即C（3，0），所以直线BC的函数表达式是y?

1x?1. 33. （2019?浙江湖州?4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 120 cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）