当前位置：首页 > 《数学分析》（华师大二版）课本上的习题7
P.168 习题
1．验证数集S??(?1)n???1??有且只有两个聚点?1??1和?2?1 n???1????1,(k??)，所2k?1???1???1,(k??)，2k?解 当n取奇数n?2k?1时，S中的互异子列??1?以?1??1是S的聚点；当n取偶数n?2k时，S中的互异子列?1?所以?2?1是S的聚点.
设实数a??1，a?1. 取?0?11??min{|a?1|,|a?1|}，因为子列??1??和22k?1??子列?1???1?1???及子?的极限都不是a，所以在邻域U(a;?0)内最多只有子列??1?2k?1?2k??列?1???1?1??n中的有限多项，从而只有数集S?(?1)????中的有限多项，所以a不是数2k?n??集S的聚点.
2．证明：任何有限数集都没有聚点.
证明 设有限数集S. 由聚点?的定义，在?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，而S只有有限个点，所以S没有聚点.
3．设?(an,bn)?是一个严格开区间套，即满足a1?a2???an?bn???b2?b1 且lim(bn?an)?0. 证明：存在唯一的一点?，使得an???bn,n?1,2,?
n??证明 ?an?为严格递增有界数列，故?an?有极限?，且有an??，n?1,2,?.其中等号不能成立，不然，若有an??，因为?an?严格递增，必有an?1?an??，矛盾.故
an??，n?1,2,?.同理，严格递减有界数列?bn?也有极限，且
limbn?liman??，an???bn，n?1,2,?.
n??n??唯一性的证明与教材P.162区间套定理7.1相同.
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4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.
解 设an?(1?1n1)，bn?(1?)n?1，n?1,2,?，则?an?是单调递增的有理数列，nn?liman?e（无理数）
n??bn?bn?是单调递减的有理数列，且limn??（1）点集?an|n?1,2,??非空有上界，但在有理数集内无上确界；点集
?bn|n?1,2,??非空有下界，但在有理数集内无下确界.
（2）数列?an?单调递增有上界，但在有理数集内无极限；?bn?单调递减有下界，但在有理数集内无极限.
（3）?an|n?1,2,??是有界无限点集，但在有理数集内无聚点. （4）数列?an?满足柯西收敛准则条件，但在有理数集内没有极限.
（5）?[an,bn]?是一闭区间套，但在有理数集内不存在一点?，使得??[an,bn]，
n?1,2,?
5．设H?{(11,)|n?1,2,?}.问 n?2n（1）H能否覆盖（0, 1）？
（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖 (i) (0,12)，(ii) (1100,1)？ 解 （1）H能覆盖（0, 1）.因为对任何x?(0,1)，必有自然数n，使得
11?x? n?2n（2）不能从H中选出有限个开区间覆盖(0,12).因对H中任意有限个开区间，设其
左端点最小的为
11，则当0?x?时，这有限个开区间就不能覆盖x.
n0?2n0?211,)，n?1,2,?99n?2n能从H中选出有限个开区间覆盖(1100,1).例如选区间：(即可.
6．证明：闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身.
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证明 设x?[a,b]，则对任何??0，Uo(x;?)?[a,b]??，故x为[a,b]的聚点. 反之，若x为[a,b]的聚点，则必有x?[a,b].事实上，若x?[a,b]，则x?a或x?b.不妨设x?a，取??a?x，那么U(x;?)?[a,b]??，这与x为[a,b]的聚点矛盾. 27．设?xn?为单调数列. 证明：若?xn?存在聚点，则必是唯一的，且为?xn?的确界. 证明 设?xn?为单调增加数列，?为?xn?的聚点.先证?是唯一的.假设?也是?xn?的聚点，不妨设???.取?????2，由聚点的定义，在?的邻域U(?;?)内有?xn?中无穷
多个点，设xN?U(?;?).因为?xn?为单调增加数列，所以当n?N时，xn?xN.于是在?的邻域U(?;?)内最多只有?xn?中有限多个点：x1,x2,?,xN?1. 这与?为?xn?的聚点相矛盾.故?为?xn?的唯一聚点.
其次证明：?为?xn?的上确界.先证?是?xn?的一个上界.假设?不是?xn?的一个上界，于是存在xN??.这时取??xN??，则在?的邻域U(?;?)内最多只有?xn?中有限多个点：x1,x2,?,xN?1，这与?为?xn?的聚点相矛盾.然后证明：?是?xn?的最小上界.???0，在?的邻域U(?;?)内有?xn?中无限多个点，设xN?U(?;?)，从而
xN????.所以??sup{xn}.
8．试用有限覆盖定理证明聚点定理.
证明 设S为实轴上有界无限点集，则存在M?0，使S?[?M,M]. 假若
[?M,M]中任何点都不是S的聚点，则?x?[?M,M]，必存在相应的?x?0，使得在
则H是[?M,M]U(x,?x)内最多只含S的有限个点.设H?{U(x,?x)|x?[?M,M]}，
的一个开覆盖，由有限覆盖定理，H中存在有限个开区间：U(xj,?xj)，j?1,2,?,n，覆盖了[?M,M]，当然也覆盖了S，由于在每一个U(xj,?xj)内最多只含S的有限个点，
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故S为有限点集，这与S为无限点集矛盾.所以[?M,M]中必有S的聚点.
9．试用聚点定理证明柯西收敛准则.
?N?0，证明 只证充分性：设???0，要证数列{an}?m,n?N，|am?an|??，
收敛.
先证数列{an}有界.取??1，存在N?0，当n?N时，有|an?aN?1|?1，于是
|an|?|aN?1|?1. 令M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,|aN|?1}，则|an|?M，
n?1,2,?，所以数列{an}有界.
其次证明数列{an}有收敛的子列.若集S?{an|n?1,2,?}是有限集，则数列{an}有常数子列，当然收敛.若集S是无限集，并且已经证明了S是有界的，故由聚点定理，知
S有聚点，设S的聚点为?. 再由聚点定义2’’（见教材P.163），存在互异的收敛数列
{ank}?{an}，使得limank??.
k??最后证明：liman??. 由题设???0，?N1?0，?m,n?N1，|am?an|??. 再
n??由limank??, 知?N2?0, ?k?N2, |ank??|??. 现在，取N?max{N1,N2}, 当
k??n?N时，有（任取k?N）, |an??|?|an?ank|?|ank??|?????2?.
所以liman??
n??P.172 习题
1．设f为R上连续的周期函数. 证明：f在R上有最大值与最小值.
证明 设f的周期为T，则f在[0, T]上连续，于是f在[0, T]上有最大值与最小值.又因为f为R上连续的周期函数，所以f在R上有最大值与最小值.
2．设I为有限区间.证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界. 举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立.
证 设区间I的左右端点分别为a,b，因f在I上一致连续，所以对??1，存在??0
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