2020版高考数学一轮复习专题3导数及其应用第21练利用导数研究函数零点问题练习

[基础保分练]

1．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是( ) A．(－∞，2ln2) C．(2ln2，＋∞)

B．(－∞，－1] D．(－∞，2ln2－2]

2．已知a<0，且x0是函数g(x)＝2ax＋b的零点，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，下列说法正确的是( ) A．?x∈R，f(x)>f(x0) C．?x∈R，f(x)

B．?x∈R，f(x)>f(x0) D．?x∈R，f(x)

1

3．设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )

31?

A．在区间??e，1?，(1，e)内均有零点 1?B．在区间??e，1?，(1，e)内均无零点

1?C．在区间??e，1?内有零点，在区间(1，e)内无零点 1?D．在区间??e，1?内无零点，在区间(1，e)内有零点

4．已知函数f(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x恰有两个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) C．(－2,0)

B．(－1,0) D．(－2，－1)

1－kx

＝－1有唯一实数解，则距离k最近的整数为( )

k

xlnx＋

5．已知当x∈(1，＋∞)时，关于x的方程A．2B．3C．4D．5

x3x26．(2018·安阳模拟)已知函数f(x)＝＋与g(x)＝6x＋a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是( )

322227－，? A.??32?2722－，? C.??23?

7．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( ) 4?2，＋∞ A.??e?C．(0,4e2)

1?

，e的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图8．(2019·宁夏银川一中月考)已知函数y＝a＋2lnx，x∈??e?

2227

－，? B.??32?2722－，? D.??23?

40，2? B.??e?D．(0，＋∞)

象上存在点Q，且点P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围为( ) A．[e2，＋∞) 1

4＋2，e2? C.??e?

2

1

3，4＋? B.?e??D．[3，e2]

x??2e，x≥a，

9．已知函数f(x)＝?若对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)＝kx0成立，则实数a的取值

??lnx，0

10．若关于x的方程1－k(x－2e)·lnx＝0在(1，＋∞)上有两个不同的解，其中e为自然对数的底数，则实数k的取值范围是________．

[能力提升练]

1．已知f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导数，满足f′(x)＝f(x)，且f(0)＝2，设函数g(x)＝f(x)－lnf3(x)的一个零点为x0，则以下正确的是( ) A．x0∈(0,1) C．x0∈(2,3)

B．x0∈(1,2) D．x0∈(3,4)

2．(2018·湖南师大附中模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( ) 1

－∞，? A.?e??

C．(－∞，0)

1

0，? B.??e?D．(0，＋∞)

3．已知函数f(x)＝(2x2－x－1)ex，则方程[ef(x)]2＋tf(x)－9e＝0(t∈R)的根的个数为( ) A．3B．2C．5D．4

4．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) 1＋e

C.?－∞，2?

e??

B．(0,1) 1＋e

D.?0，2?

e??

5．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，若y＝f(cosx)在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．

1

6．若函数f(x)＝－lnx＋ax2＋bx－a－2b有两个极值点x1，x2，其中－0，且f(x2)＝x2>x1，则方

2程2a[f(x)]2＋bf(x)－1＝0的实根个数为________．

答案精析

基础保分练 1．D 2.C 3.D

4．B [由alnx＋x2－(a＋2)x＝0得 x2－2xa＝，

x－lnxx2－2x

令g(x)＝，

x－lnx则g′(x)＝

x－1

x＋2－2lnx

，

x－lnx2g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－1， 又当x∈(0,1)时，x2－2x<0， x2－2xg(x)＝<0，

x－lnx

所以实数a的取值范围是(－1,0)， 故选B.

]

xlnx＋

5．B [由1－kx

＝－1可得

k

xlnx＋xk＝(x>1)，

x－1xlnx＋x

令g(x)＝(x>1)，

x－1则g′(x)＝

x－lnx－2

，

x－12令h(x)＝x－lnx－2，

1

则h′(x)＝1－，由x∈(1，＋∞)可得h′(x)>0，函数h(x)单调递增．因为h(3)＝1－ln3<0，h(4)＝2－ln4>0，

xh(3.5)＝1.5－ln3.5>0，则存在x0∈(3,3.5)满足h(x0)＝0，所以g(x0)是函数g(x)的最小值．若满足唯一实数解，则k＝g(x0)．由h(x0)＝0得lnx0＝x0－2， x0则g(x0)＝

x0－2＋x0

＝x0，所以k＝x0∈(3,3.5)．据此可得距离k最近的整数为3，故选B.]

x0－1

x3x2

6．B [原问题等价于函数h(x)＝＋－6x与函数y＝a的图象有3个不同的交点，

32由h′(x)＝x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)， 得x＝2或x＝－3，

当x∈(－∞，－3)时，h′(x)>0， h(x)单调递增；

当x∈(－3,2)时，h′(x)<0，

h(x)单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0， h(x)单调递增．

2722

且h(－3)＝，h(2)＝－，

23

2227

－，?.] 数形结合可得a的取值范围是??32?7．B [函数y＝x2ex－a的导数为y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)， 令y′＝0，则x＝0或－2，

当－20，函数在两个区间上单调递增，

∴函数f(x)在x＝－2处取极大值f(－2)＝4e2－a，在x＝0处取极小值f(0)＝－a，

－

已知函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，

4－

0，2?，故选B.] 故－a<0，且4e2－a>0，解得实数a的取值范围是??e?8．D [函数y＝－x2－2的图象与函数y＝x2＋2的图象关于原点对称，

1?

，e的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点若函数y＝a＋2lnx，x∈?e??对称，

1?

，e的图象与函数y＝x2＋2的图象有交点， 则函数y＝a＋2lnx，x∈??e?1?

即方程a＋2lnx＝x2＋2，x∈??e，e? 有解，

1?即a＝x2＋2－2lnx，x∈??e，e?有解， 令f(x)＝x2＋2－2lnx， 2则f′(x)＝

x2－1

， x

1?当x∈??e，1?时，f′(x)<0， 函数f(x)单调递减， 当x∈(1，e]时，f′(x)>0， 函数f(x)单调递增，

故当x＝1时，f(x)取最小值3， 1?12由f?＝2＋4，f(e)＝e， ?e?e故当x＝e时，f(x)取最大值e2， 故a∈[3，e2]．] 9．{e}