《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第一章《解三角形》章末检测

11π

∴S△ABC＝absin C＝×4×sin＝3.

22320．解 (1)由正弦定理，可设

abc＝＝＝k， sin Asin Bsin C则＝

2c－a2ksin C－ksin A

＝ bksin B2sin C－sin A

，

sin B

cos A－2cos C2sin C－sin A所以＝，

cos Bsin B即(cos A－2cos C)sin B ＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A. sin C

因此＝2.

sin A(2)由

sin C

＝2，得c＝2a. sin A

1

由余弦定理及cos B＝，

4

1

得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.

4所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2. 21．解 如图所示，连接A1B2，

由已知A2B2＝102， A1A2＝302×

20＝ 60

102，∴A1A2＝A2B2，

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝102.

由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理，得

22B1B2A1B2·cos 45° 2＝A1B1＋A1B2－2A1B1·

＝202＋(102)2－2×20×102×∴B1B2＝102.

2

＝200. 2

102因此，乙船速度的大小为×60＝302(海里/小时)．

20答 乙船每小时航行302海里． 22．解 (1)由正弦定理

abc＝＝＝2R， sin Asin Bsin C

得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 又∴

cos Bb

＝－， cos C2a＋ccos Bsin B

＝－， cos C2sin A＋sin C

∴2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0， 即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0， ∵A＋B＋C＝π， ∴2sin Acos B＋sin A＝0， 1∵sin A≠0，∴cos B＝－，

22π

∵0＜B＜π，∴B＝.

3

2π

(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B，

3即b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 1

∴13＝16－2ac(1－)，求得ac＝3.

213

于是，S△ABC＝acsin B＝3.

24