高考数学(理)复习训练：《函数的奇偶性与周期性》(北师大版)

C．增函数 D．周期函数

解析：首先理解题意，画出函数的图像．

函数的图像(图像略)在两个整数之间都是斜率为1的线段(不含终点)，故选D. 答案：D

4．(2012·高考重庆卷)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数，则a－4＝0， ∴a＝4. 答案：4

5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________. 解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，得f(x＋2)＝∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝

13

， f?x?

13

＝f(x)， f?x＋2?

∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝13答案：2 6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为________． ①f(4)＝0；

②f(x)是以4为周期的函数； ③f(x)的图像关于x＝1对称； ④f(x)的图像关于x＝2对称． 解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f (x＋4)， 即f(x)的周期为4，②正确．

∴f(4)＝f(0)＝0(∵f(x)为奇函数)，即①正确，

1313＝. f?1?2

又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)， ∴f(x)的图像关于x＝1对称， ∴③正确，

又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时， 显然f(x)的图像不关于x＝2对称， ∴④错误． 答案：①②③

7．(创新题)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M?D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数．

(1)如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围；

(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝x2(x≥－1)的图像如图(1)所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)，有m≥2；x≥－1时，恒有f(x＋2)≥f(x)，故m≥2即可．所以实数m的取值范围为[2，＋∞)；

(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图像如图(2)所示， ∵f(3a2)＝a2＝f(－a2)，

由f(－a2＋4)≥f(－a2)＝a2＝f(3a2)， 故－a2＋4≥3a2，从而a2≤1， 又a2≤1时，恒有f(x＋4)≥f(x)， 故a2≤1即可．

所以实数a的取值范围为[－1,1]．