高考数学（理）复习训练：《函数的奇偶性与周期性》（北师大版）

【A级】 基础训练

1．对任意实数x，下列函数为奇函数的是( ) A．y＝2x－3 C． y＝ln 5x

B．y＝－3x2 D．y＝－|x|cos x

解析：A为非奇非偶函数，B、D为偶函数，C为奇函数． 设y＝f(x)＝ln 5x＝xln 5， ∴f(－x)＝－xln 5＝－f(x)． 答案：C

?1，x为有理数，

2．(2012·高考福建卷)设函数D(x)＝?则下列结论错误的是

?0，x为无理数，

( )

A．D(x)的值域为{0,1} C．D(x)不是周期函数

B．D(x)是偶函数 D．D(x)不是单调函数

解析：A：函数值只有两个：0和1，正确；B：若x为有理数，则－x也为有理数，则D(－x)＝D(x)；若x是无理数，则－x也是无理数，则D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函数，正确；C：对于任意有理数T，f(x＋T)＝f(x)(若x是无理数，则x＋T也是无理数；若x是有理数，则x＋T也是有理数)，不正确；D：取任意两个数值x1，x2，D(x1)与D(x2)的大小不确定，故不存在单调性，正确． 答案：C

3．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有则( )

A．f(3)

B．f(1)

f?x2?－f?x1?

>0，

x2－x1

解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，

f?x2?－f?x1?又∵>0(x1，x2∈[0，＋∞))，∴f(x)是[0，＋∞)上的增函数，∴f(1)

x2－x12)

4．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________． 解析： 因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1. 答案：－1

5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(即x<0时，f(x)＝－(答案：－－x－1

6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，则f(2 013)＝________.

解析：由已知f(x＋2)＝－∴f(x＋4)＝－

1

， f?x?－x＋1)， －x＋1)＝－－x－1.

1

＝f(x)， f?x＋2?

∴f(x)的周期为4.

∴f(2 013)＝f(503×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2. 答案：－2

7．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

解：由f(m)＋f(m－1)>0， 得f(m)>－f(m－1)， 即f(1－m)

又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f (x)在[－2,2]上为奇函数， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数， －2≤1－m≤2，??

∴?－2≤m≤2，??1－m>m，1解得－1≤m<2. 8．已知函数f(x)对任意的实数x满足：f(x＋1)＝－x2.

(1)求f(2 012)；

(2)确定函数y＝f(x)的图像与函数y＝|lg x|的图像的交点个数． 解：(1)∵对任意x∈R，都有f(x＋1)＝－∴f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－

1， f?x?

1

，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝f?x?

－1≤m≤3，??－2≤m≤2，即?

1m

11

＝－1 f?x＋1?－

f?x?

＝f(x)．

∴f(x)是以2为周期的函数，

∴f(2 012)＝f(2×1 006＋0)＝f(0)＝02＝0.

(2)根据f(x)的周期性及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下

可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；

x>10时，|lg x|>1，因此结合图像及数据特点y＝f(x)与y＝|lg x|的图像交点共有10个．

【B级】 能力提升

1

1．(2013·高考山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f (x)＝x2＋x，则f(－1)＝( )

A．2 C．0

B．1 D．－2

解析：利用奇函数的性质f(－x)＝－f(x)求解． 11当x＞0时，f(x)＝x2＋x，∴f(1)＝12＋1＝2. ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：D

2．(2013·高考浙江卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)π

是奇函数”是“φ＝2”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

ππ

解析：先判断由f(x)是奇函数能否推出φ＝2，再判断由φ＝2能否推出f(x)是奇函数． ππ若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝2＋kπ(k∈Z)，故φ＝2不成立；

π?π?

若φ＝，则f(x)＝Acos?ωx＋2?＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ

2??π

＝2的必要不充分条件． 答案：B

3．(2013·高考湖北卷)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( ) A．奇函数

B．偶函数