数学4-6

1423解析 法一 取a＝b＝1，则cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝，∴c＝，

33322在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B＝2，又sin C＝，tan C＝22，∴

3tan Ctan C

＋＝4. tan Atan B

a2＋b2a2＋b2－c2ba

法二 由＋＝6cos C，得＝6·，

abab2ab3tan Ctan Ccos Acos B?即a2＋b2＝c2，∴＋＝tan C??sin A＋sin B?＝ 2tan Atan BsinC2c

＝222＝4.

cos Csin Asin Ba＋b－c答案 4

三、解答题(共22分)

5．(10分)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.

解 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A， 又a－c＝2b(b≠0)，∴b＝2ccos A＋2① 又sin Acos C＝3cos Asin C，

∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C， ∴sin(A＋C)＝4cos Asin C，即sin B＝4cos Asin C. b

由正弦定理得sin B＝sin C，∴b＝4ccos A②

c由①②解得b＝4.

cos A－2cos C

6．(12分)(2011·山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

cos B2c－a＝.

bsin C(1)求的值；

sin A

1

(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．

4abc

解 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，

sin Asin Bsin C2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则＝＝，

bksin Bsin B所以

cos A－2cos C2sin C－sin A

＝.

cos Bsin B

2

22

2

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，

sin C

所以sin C＝2sin A，因此＝2.

sin Asin C(2)由＝2得c＝2a.

sin A1

由余弦定理及cos B＝得

4

1

b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.

4所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.