高中数学 第二章 圆锥曲线与方程专题强化训练 新人教A版选修2-1

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第二章 圆锥曲线与方程

专题强化训练(二) (建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点

P的轨迹分别为 ( )

A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线

C [依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．故选C．]

2．与椭圆9x＋4y＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( ) A．＋＝1

24C．＋y＝1

6

2

2

2

2

x2y2x2

B．x＋＝1

6D．＋＝1

85

2

y2

2

x2y2

B [椭圆9x＋4y＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±5)，

49

x2y2

y2x2222

故可设所求椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，则c＝5.又2b＝2，即b＝1，所以a＝b＋c＝

ab6，则所求椭圆的标准方程为x＋＝1.]

6

2

y2

x2y2

3．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e＝( )

ab【导学号：46342122】

A．2 B．2 C．3 D．3

bbb2

A [由题意知－×＝－1，即2＝1，

aaab2

∴e＝1＋2＝2，即e＝2.]

a2

1?7?x22

4．直线y＝?x－?与双曲线－y＝1交点的个数是( )

3?2?9A．0 B．1 C．2 D．3

金戈铁制卷

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11?7?B [双曲线的渐近线方程为y＝±x，则直线y＝?x－?与双曲线的一条渐近线平行，

33?2?所以直线与双曲线只有一个交点．]

5．若直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋

94＝1的交点个数为( )

A．2 B．1 C．0 D．0或1 A [由题意，得

4

2

2

x2y2

m＋n22

>2，所以m＋n<4，则－2

22

圆＋＝1内，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．故选A．] 9494

二、填空题

6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．

x2y2x2y2

px2＝4y [由题意知e＝1，则＝1，从而2p＝4.抛物线方程为x2＝4y.]

2

7．椭圆的两个焦点为F1，F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

32222 [由题意知|F1A|＝|F2A|＝a，|F1F2|＝2C．由余弦定理得4c＝a＋a－2acos 120°. 2

c23

即3a＝4c，所以e＝2＝.

a4

2

2

2

所以e＝

3.] 2

2

2

8．点P(8,1)平分双曲线x－4y＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________． 2x－y－15＝0 [设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)

??x1－4y1＝4 ①则?22

??x2－4y2＝4 ②

2

2

②－①整理得

y2－y1x2＋x1

＝，又x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. x2－x14(y2＋y1)

所以

y2－y1

＝2，即弦所在的直线的斜率为2. x2－x1

故弦所在的直线方程为2x－y－15＝0.] 三、解答题

9．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.

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(1)求椭圆的方程．

(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.

【导学号：46342123】

[解] (1)依题意可设椭圆方程为

x22

＋y＝1(a>1)， a2

则右焦点F(a－1，0)， |a－1＋22|

由题设，知＝3，

2

解得a＝3，故所求椭圆的方程为＋y＝1.

3

2

22

x2

2

y＝kx＋m，??2

(2)设点P为弦MN的中点，由?x2

＋y＝1，??3

得(3k＋1)x＋6mkx＋3(m－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点，

2

2

2

所以Δ>0，即m<3k＋1， ① 所以xP＝

22

xM＋xN23mk＝－2，

3k＋1

从而yP＝kxP＋m＝2，

3k＋1

myP＋1m＋3k2＋1

所以kAP＝＝－，

xP3mk又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，

m＋3k2＋112

则－＝－，即2m＝3k＋1， ②

3mkk把②代入①得2m>m，解得0

由②得k＝>0，解得m>，

32

2

?1?故所求m的取值范围是?，2?.

?2?

?3?10．已知椭圆C经过点A?1，?，两个焦点为(－1，0)，(1,0)． ?2?

(1)求椭圆C的方程；

(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

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y2

[解] (1)由题意，c＝1，设椭圆的方程为2＋2＝1.

1＋bb19

因为A在椭圆上，所以2＋2＝1，

1＋b4b322

解得b＝3或b＝－(舍去)．

4所以椭圆的方程为＋＝1.

43

3

(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，

2代入＋＝1，

43

x2

x2y2

x2y2

?3?22

得(3＋4k)x＋4k(3－2k)x＋4?－k?－12＝0，

?2?

设E(xE，yE)，F(xF，yF)，

2

?3?4?－k?－12

3?2?

所以xE＝，yE＝kxE＋－k. 2

3＋4k2

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得

2

2

xF＝

?3?4?＋k?－12

?2?

3＋4k2

3

，yF＝－kxF＋＋k.

2

所以直线EF的斜率

yF－yE－k(xF＋xE)＋2k1kEF＝＝＝. xF－xExF－xE2

1即直线EF的斜率为定值，其值为. 2

[能力提升练]

1．设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )

13

A． B．1 C． D．2 22

D [由题意得点P的坐标为(1,2)．把点P的坐标代入y＝(k>0)得k＝1×2＝2，故选D．]

2．已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A．若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )

2

kxkx金戈铁制卷