专题讲座：几个重要的特殊数列

作数列：

（2）

且，

（3） 因为

现用数学归纳法证明下述两式成立：

故当

时（2）（3）两

式成立。

假设当纳假设，知

这样（2）（3）两式对于（2）即可知 方法二：由列的关系。设 假设故当所以

时，

，删去

是完全平方数。

的递推关系式寻求

，其中时，则当

依次取1，3，4时，,

令

，则当

时，有，其中

且

设

时结论成立，于是

,即当

从上述证明可知，对一切正整数 例3 将等差数列{成一个数列{

解: 由于

},求

}:的值.

,故若

是3或5的倍数,当且仅当

是3或5的倍数. 现将数轴正向分成

，

是完全平方数，从而

是斐波那契数列： ，

当

时结论显然；

时命题成立。 也是完全平方数。

,因为

，下

的递推关系式，从这个递推关系式对求

且

。

分别等于

与斐波那契数

成立。故（2）（3）两式对于一切自然数

成立。

（

）时，（2）（3）两式成立，由当

时，由（1）式、

的定义以及归

用数学归纳法证明

中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排

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一系列长为60的区间段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{

,

的项,8个{所以

例4 将正奇数集合

,}的项, 且有

,

,

,

,

}的项8个,为: ,

}的项15个,

,于是每个区间段中恰有15个{

,

}

,k∈N,1≤r≤8.由于2006＝8×250+6,而

.

从小到大按第组有

个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，

{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？

解：需要写出第n组的第1个数与最后一个数，1991介于其中，而第n组的最后一个数为第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1。由题意知 2(n－1)2+1位于第32级中。

例5 设等差数列

，

组的各项的和。

解：设

位于第组，则前

组共有3+6+9+…+3（k－1）=

项，

的首项是，

，公差为

，将

按第组有

个数的法则分组如下：

所在那

，解得(n－1)2

且

，从而

且

，故

，即1991

。

，……，试问是第几组的第几个数？并求出

所以即

解此方程组得：，

因为且－（，所以。

因此，是第组的第个数，其中。

因为第组是以为首项，为公差的等差数列，所以其所有项的和等

于，其中。

例5 设奇数数列：1，3，5，7，9…… （1） 按2，3，2，3……的个数分群如下：

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（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），……（2）

（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？

（II）求第

个群中的所有的元素之和。

解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群： （1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19），……（3）

由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第4个元素。对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数列（2）中的第402个群中 的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2个元素。

（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。

若为偶数，则，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第3，4，5个元素 由于数列（3）的第

群的5个元素之和是

；

若为奇数，设由于数列（3）的第

，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的5个元素之和是

。

例7 数列

：1，9，8，5，……，其中是4的倍数。

证：数列

中

为奇或偶数时，分别记

为1，0，则得数列

：

是

的个位数字（

），试证明：

，所以数列（2）中的第

群的第1，2个元素 群的元素之和为

，所以数列（2）中的第

群的元素之和为

1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1， 1，1；…且可见

与

的奇偶性相同。由于数列

，

的定义及前面得到的新数列，而……

，

的一些项，

，……，

是以15为周期的周期数列，即得

，于是

即在1985到2000的这16项

中，奇数、偶数各有8项，由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，由此命题得证。 例8 已知项都不是4的倍数。

证：由题设中的递推关系，知奇，偶。

假设存在

的奇偶性只有三种情况：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，

中的所有项都不是4的倍数。

均为奇数，

为偶数。

，

，

，试证：对于一切

，

所有的

均不是4的倍数。下面证明

是4的倍数的最小下标

，则

，且

7

由于

盾！因此命题得证。

和，得所以是4的倍数，与所设的矛

方法二：由于该数列不是周期数列，但模4后得到的数列是周期数列，从开头的几项1，2，7，29，22，23，49，26，－17，……模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，……发现这是一个周期为3的周 期数列。 设与或因此

所有项都不是4的倍数。

，对于

奇偶性相同，所以

（其中

）成立，则

,因此，将数列每一项模4后，余数成周期数列，周期为3，

，所以

例9 一个三阶等差数列{an}的前4项依次为30,72,140,240，求其通项公式

解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D,由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240

得解得：,所以an=n3+7n2+14n+8.

例10 对于任一实数序列A={a1,a2,a3,…}，定义A为序列{a2-a1,a3-a2,…}，它的第n项为an+1-an，

假设序列(A)的所有项均为1，且a19=a92=0,求a1

解：设序列A的首项为d,则序列A为{d,d+1,d+2,…},它的第n项是d+(n-1)，因此序列A的第n 项

,显然an是关于n的二

次多项式，首项等比数列为，由于a19=a92=0，必有，所以a1=819.

方法二：由题意知，数列A是二阶等差数列，因面它的通项是关于

，由a19=a92=0,知19，92是方程

，又已知

从而所以

，将

代入求得a1=819.

，

,解得

，

的二次三项式，故可设

的两个根，所以

针对练习：（主要是阶差数列的练习）

1．数列{an}的二阶差数列的各项均为16，且a63=a89=10，求a51

解：显然{an}的二阶差数列{bn}是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)×16,于是 an= a1+

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