2019 - 2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.2空间中的平行关系第2课时平面与平面平行学案新人教B版必修2

第2课时 平面与平面平行

1．了解空间中两个平面的位置关系． 2．理解面面平行的定义． 3．掌

握面面平行的判定定理、性质定理．

1．空间两个平面的位置关系

位置关系 两平面平行 斜交 两平面相交 垂直 2．平面与平面平行的判定 定理 文字 语言 判定定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 图示 表示法 公共点(直线)个数 无 α∥β α∩β＝a 有一条公共直线 α⊥βα∩β＝a 有一条公共直线 图形 语言 符号 语言 文字语言 b?β??a∩b＝P?β∥α ?a∥α?b∥α?a?β ??a′?α，b′?α，a′∩b′＝P′??a∥a′，b∥b′??β∥α a?β，b?β，a∩b＝P3．平面与平面平行的性质 性质定理可表述如下：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 ?α∩γ=a??a∥b β∩γ=b?α∥β图形语言

1．若α∥β，a?α，b?β，下列几种说法中正确的是( )

①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β． A．①② C．②③ 答案：B

2．已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC．

证明：如图所示，

B．②④ D．①③④

在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB．又知AB?平面ABC， 因此DE∥平面ABC． 同理，EF∥平面ABC． 又因为DE∩EF＝E， 所以平面DEF∥平面ABC．

3．平行于同一个平面的两条直线是否也一定平行？ 解：不一定．平行、相交、异面都有可能．

平面与平面平行的判定

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、AA1的中点，求证：平面BDE∥平面B1D1F．

【证明】 设G是BB1的中点，

连接CG、DF、FG． ∥AB，AB∥DC， 因为FG══∥DC．所以四边形FGCD是平行四边形， 所以FG═∥CG． 则DF═∥CG，则DF∥EB1． 由题设可得EB1══所以四边形DFB1E是平行四边形．

所以B1F∥ED，因为B1F?平面BDE，ED?平面BDE， 所以B1F∥平面BDE． 又因为B1D1∥BD，

B1D1?平面BDE，BD?平面BDE，

所以B1D1∥平面BDE．

因为B1D1∩B1F＝B1，所以平面BDE∥平面B1D1F．

证明面面平行的方法

(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG．求证：平面

EFG∥平面ABC．

证明：作EP⊥BB1于P，连接PF． 在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1中， 易知A1B1⊥BB1．又EP⊥BB1，所以EP∥A1B1∥AB．

所以

BEBP＝，EP∥平面ABC． BA1BB1

又因为BE＝CF，BA1＝CB1， 所以

CFBP＝， CB1BB1

所以PF∥BC，则PF∥平面ABC．

因为EP∩PF＝P，所以平面PEF∥平面ABC． 因为EF?平面PEF，所以EF∥平面ABC． 同理，GF∥平面ABC．

因为EF∩GF＝F，所以平面EFG∥平面ABC．

面面平行的性质

已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的

高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．

【解】

SG∥平面DEF，证明方法如下：

法一：连接CG交DE于点H，连接FH， 因为DE是△ABC的中位线， 所以DE∥AB．

在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG， 所以H为CG的中点．

所以FH是△SCG的中位线，所以FH∥SG． 又SG?平面DEF，FH?平面DEF， 所以SG∥平面DEF．

法二：因为EF为△SBC的中位线，所以EF∥SB． 因为EF?平面SAB，SB?平面SAB，所以EF∥平面SAB． 同理DF∥平面SAB，EF∩DF＝F， 所以平面SAB∥平面DEF．