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高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第一讲直线与圆教案

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  • 2025/5/4 12:03:13

第一讲 直线与圆

[考情分析]

直线与圆的方程系为高考命题的热点,需重点关注.此类试题难度中等偏下,多在选择题或填

空题呈现.

年份 2017 2016 2015 卷别 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 考查角度及命题位置 探索性问题与圆的弦长问题·T20 直线与圆的位置关系及圆的面积问题·T15 直线与圆相交问题·T20 圆的方程问题·T7 [真题自检]

1.(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则

a=( )

3

B.-

4 D.2

2

2

2

2

4A.-

3C.3

解析:因为圆x+y-2x-8y+13=0的圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0的距

|a+4-1|4 d==1,解得a=-.

3a2+1

答案:A

2.(2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x+y-2ay-2=0相交于A,B两点,若

|AB|=23,则圆C的面积为________.

解析:圆C:x+y-2ay-2=0化为标准方程为x+(y-a)=a+2,所以圆心C(0,a),半径

2

2

2

2

2

2

2

r=a2+2,因为|AB|=23,点C到直线y=x+2a,即x-y+2a=0的距离d=

|0-a+2a|=2

|a|

,由勾股定理2

得?

?23?2?|a|?2222

?+??=a+2,解得a=2,所以r=2,所以圆C的面积为π×2=4π.?2??2?

答案:4π

- 1 - / 8

直线与直线方程

[方法结论]

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若给出的

直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.

2.求直线方程

要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式

方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.

3.两个距离公式

|C1-C2|

(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.A2+B2

(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式

|Ax0+By0+C| d=.A2+B2

4.与已知直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)平行的直线可改为Ax+By+m=0(m≠C),垂直的

直线可设为Bx-Ay+m=0. 5.直线l1:A1x+B1y+C1=0, 直线l2:A2x+B2y+C2=0, 当l1⊥l2时,有A1A2+B1B2=0,

当l1∥l2时,A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0.

[题组突破]

1.(2017·重庆一中检测)若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实

数a的值为( )

3 B.

23 D.

4

1A.21C. 4

3

解析:由已知得3(a-1)+a=0,解得a=,故选D.

4

答案:D

2.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件C.必要而不充分条件

2b

解析:因为两条直线平行,所以斜率相等,即-=-,可得ab=4,又当a=1,b=4时,满

a2

足ab=4,但是两直线重合,故选C.

- 2 - / 8

答案:C

3.经过直线l1:2x-3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且平行于直线4x-2y+7=0的直

线方程是( )

B.4x-2y+9=0 D.x+2y+18=0

??2x-3y+2=0

解析:联立两条直线的方程得?

??3x-4y-2=0

A.x-2y+9=0 C.2x-y-18=0

,解得x=14,y=10.所以l1,l2的交点坐标是

(14,10).设与直线4x-2y+7=0平行的直线方程为4x-2y+c=0(c≠7),因为4x-2y+c=0过l1与l2的交点(14,10),所以c=-36,所以所求直线方程为4x-2y-36=0,即2x-y-18

=0.故选C.

答案:C [误区警示]

1.求直线方程时易忽视斜率k不存在情形.

2.利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形.

3.有关截距问题易忽视截距为零这一情形.

圆的方程

[方法结论]

1.圆的标准方程

当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)+(y-b)=r,特别地,当圆心在原点

时,

方程为x+y=r. 2.圆的一般方程

E?D2+E2-4F?D

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以?-,-?为圆心、为半径的

2

2

2

2

2

2

?22?

2

圆.

[题组突破]

1.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆

的方程为( )

B.x+y+2x+4y=0 D.x+y-2x-4y=0

2

2

2

2

A.x+y-2x+4y=0C.x+y+2x-4y=0

2

2

22

解析:由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,由x+1=0且x+y-1=0,解得x=-1,y=2,即该直线恒过点(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)+(y-2)=5,即x+y+2x -4y=0. 答案:C

2

2

2

2

- 3 - / 8

2.方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )

222

?2? B.?-,0? ?3?

2?? D.?-2,? 3??

?2?A.(-∞,-2)∪?,+∞?

?3?

C.(-2,0)

3a23a22?a?22

解析:方程为?x+?+(y+a)=1-a-表示圆,则1-a->0,解得-2<a<.

443?2?

答案:D

3.(2017·北京西城模拟)与直线x+y-2=0和曲线x+y-12x-12y+54=0都相切的半径最

小的圆的标准方程是( )

B.(x-2)+(y+2)=2 D.(x-2)+(y-2)=2

2

2

2

2

2

2

2

2

A.(x+2)+(y-2)=2C.(x+2)+(y+2)=2

2

2

22

解析:由题意知,曲线为(x-6)+(y-6)=18,过圆心(6,6)作直线x+y-2=0的垂线,垂线方程为y=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上,又(6,6)到直线x+y-2=0的距离d=|6+6-2|22

=52,故最小圆的半径为2,圆心坐标为(2,2),所以标准方程为(x-2)+(y-2)2

=2. 答案:D

4.一束光线从圆C的圆心C(-1,1)出发,经x轴反射到圆C1:(x-2)+(y-3)=1上的最短

路程刚好是圆C的直径,则圆C的方程为( )

B.(x+1)+(y-1)=5 D.(x+1)+(y-1)=25

2

2

2

2

2

2

A.(x+1)+(y-1)=4C.(x+1)+(y-1)=16

2

2

22

解析:圆C1的圆心C1的坐标为(2,3),半径为r1=1.点C(-1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为

(-1,-1).

因为C′在反射线上,所以最短路程为|C′C1|-r1,即[2--1]2+[3--1]2-1=

4.故圆C的半径为

122

r=×4=2,所以圆C的方程为(x+1)+(y-1)=4,故选A.

2

答案:A [误区警示]

方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是D+E-4F>0,易忽视这一点.直线与圆的位置关系

[方法结论]

1.直线和圆的位置关系的判断方法

直线l:Ax+By+C=0(A+B≠0)与圆:(x-a)+(y-b)=r(r>0)的位置关系如表.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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第一讲 直线与圆 [考情分析] 直线与圆的方程系为高考命题的热点,需重点关注.此类试题难度中等偏下,多在选择题或填 空题呈现.年份 2017 2016 2015 卷别 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 考查角度及命题位置 探索性问题与圆的弦长问题·T20 直线与圆的位置关系及圆的面积问题·T15 直线与圆相交问题·T20 圆的方程问题·T7 [真题自检] 1.(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则 a=( )3 B.- 4 D.2 22224A.-3C.3 解析:因为圆x+y-2x-8y+13

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