2015届高考数学（理）第一轮复习达标课时跟踪检测：58 曲线与方程含答案

课时跟踪检测(五十八) 曲线与方程

第Ⅰ组：全员必做题

1. 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是( )

A．线段 C．椭圆

2

B．圆 D．双曲线

2. 已知定点A(2,0)，它与抛物线y＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( ) A．y＝2(x－1) C．y＝x－1

2

2

22

B．y＝4(x－1) 12

D．y＝(x－1)

2

2

3．(2014·长春模拟) 设圆(x＋1)＋y＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )

4x4y

A.－＝1 21254x4y

C.－＝1 2521

2

2

2

2

4x4y

B.＋＝1 21254x4y

D.＋＝1 2521

2

2

22

4．(2014·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )

A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0

B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0

2

2

5．(2013·焦作模拟)设点A为圆(x－1)＋y＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )

A．y＝2x C．y＝－2x

2

2

22

B．(x－1)＋y＝4 D．(x－1)＋y＝2

2

2

22

6．已知圆的方程为x＋y＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．

7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．

8．(2013·武汉调研)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为________．

9．(2013·大连模拟) 设A，B分别是直线y＝设O为坐标原点，动点P满足OP＝OA＋OB.

(1)求点P的轨迹方程；

22

x和y＝－x上的动点，且|AB|＝2，22

- 1 -

(2)过点(3，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．

10. (2013·广州模拟)如图，已知抛物线P：y＝x，直线与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，OA＋OB＝OC，OC与交于点M.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)求四边形AOBC的面积的最小值．

第Ⅱ组：重点选做题

1．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是( ) A．两条直线 C．两条线段

B．两条射线

D．一条直线和一条射线

2

ABAB

1?1?2．(2014·余姚模拟)已知点F?，0?，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直4?4?

- 2 -

于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )

A．双曲线 C．圆

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

1．选C 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a＋b＝9① 又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)， a＝3x，??即?3

b＝y，??2

2

2

B．椭圆 D．抛物线

②

y

代入①式整理可得：x＋＝1.

4

2

2

2．选D 设P(x0，y0)，M(x，y)， x＋2x＝??2，则?y

y＝??2.00

??x0＝2x－2，

所以?

?y0＝2y.?

1222

由于y0＝x0，所以4y＝2x－2.即y＝(x－1)．

2

3．选D ∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，

5

∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．∴a＝，

2c＝1，

21222

则b＝a－c＝，

4

4x4y

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

2521

4．选D 设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 5.选D 如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，

又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝

|MA|＋|PA|＝2， 即|PM|＝2， ∴(x－1)＋y＝2.

6．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|

2

2

22

2

2

2

- 3 -

＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

xy

答案：＋＝1(y≠0)

43

7．解析：如图，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2， |CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲xy

线的右支，方程为－＝1(x＞3)．

916

xy

答案：－＝1(x＞3)

916

8．解析：由抛物线定义知点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y＝2px，从而可知p＝4，所以动点P的轨迹方程为y＝8x.

答案：y＝8x

9．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， ∵OP＝OA＋OB，∴x＝x1＋x2，y＝y1＋y2， ∵y1＝

22

x1，y2＝－x2， 22

2

(x1－x2)． 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴x＝x1＋x2＝2(y1－y2)，y＝y1＋y2＝∵|AB|＝1

－x2

2＋

1

－y2

2＝2，

122

∴x＋2y＝2， 2

x2

∴点P的轨迹方程为＋y＝1.

4

(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l1的方程为x－3＝ky.

2

??x－3＝ky，由?x2

2

＋y＝1??4

得(k＋4)y＋23ky－1＝0，

22

23k83∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2.

k＋4k＋4

?43－3k?

∴M点坐标为?2，2?，

?k＋4k＋4?

- 4 -