数理金融1

情形。

一般来说，如果资产的未来价格S?1?上升，而且高于远期价格F,那么以时间1为交割日的持有远期合约多头头寸的投资者将受益。如果资产的未来价格S?1?下跌到远期价格F以下，那么远期合约多头头寸的持有者将遭受损失。一般地，远期合约多头头寸的回报（payoff）为S?1??F（它可以为正、为负或为零）。远期合约空头头寸的回报为F?S?1?.

除了股票和债券之外，一个投资者持有的资产组合可以包含远期合约，此时我们用三元组?x,y,z?表示资产组合，和以前一样，用x和y表示股票和债券的数量，z为远期合约的数量（多头为正，空头为负）。因为远期合约交易时没有现金支付，所以这样的资产组合的初始值可以简化为

V?0??xS?0??yA?0?

在交割日，投资组合的价值为

V?1??xS?1??yA?1??z?S?1??F?

假设1.1～1.5以及无套利原则实际上已经扩展到这种情况。

远期价格F由无套利原则确定。特别地，很容易发现没有持有成本（carrying cost）的资产。这种资产的典型例子为不支付红利的股票。（相反，商品通常包括储存成本；而持有外币可以获得利息，可以认为是负的持有成本。）

远期头寸保证在交割日以远期价格卖出资产。资产可以现在卖出，也可持有到交割日。而如果初始现金支出为零，则必须贷款融资购买，在交割日需要归还的贷款及利息为远期价格。下面的命题说明，确实如此。

命题1.2

假设A(0)?100美元；A(1)?110美元；S(0)?50美元；风险证券没有持有成本，则有远期价格F?55美元，否则，就存在套利机会。

证明

假设F?55美元。那么在时间0； ?借入50美元。

?以S(0)?50美元的价格买入该资产。

?以远期价格F购进远期合约空头，交割日为时间1。

其结果是资产组合?1,???1?,?1?由股票、无风险头寸和远期合约空头头寸构成，初始价格为2?V(0)?0，那么在时间1：

?终止远期合约空头头寸，以F美元的价格卖出资产。

1?终止无风险资产头寸，支付?110?55美元。

2则投资组合的终值V?1??F?55?0将是你的套利利润，违背无套利原则。

另一方面，如果F?55美元，则在时间0： ?以50美元的价格卖空资产。 ?将这个金额投资于无风险资产。

?取得股票的远期合约多头头寸，远期价格为F美元，交割日为时间1. 这个资产组合??1,,1?的初始值V(0)?0，而在时间1：

??1?2??来自无风险投资的现金是55美元。

?以F美元买资产，结清远期合约多头头寸，将资产返还给所有者。那么，你的套利

利润V?1??F?55?0，这再一次违背了无套利原则，得出远期价格必须是F?55美元。

练习1.5

假设A(0)?100美元；A(1)?112美元；S(0)?34美元。如果股票远期价格

F?38.60，交割日为世间1，能找到套利机会吗？

练习1.6

假设A(0)?100美元；A(1)?105美元；英镑现在的价格S(0)?1.6美元；英镑远期价格为F?1.5美元；交割日为时间1。如果约定在时间1支付100英镑，今天英镑债券的成本会是多少？提示：基于资产的远期合约包括负的持有成本（投资于英镑债券得到的利息收益）。

1.6 看涨期权和看跌期权

假设A(0)?100美元；A(1)?110美元；S(0)?100美元，且

概率为p?120 S?1????80概率为1?p式中，0?p?1。

看涨期权（其敲定价格或者施权价为100美元，施权时间为1）是一个合约，这个合约赋予持有者在时间1以100美元价格购买1股股票的权利（而不是义务）。

如果股票价格下跌到施权价以下，则期权没有价值。如果股票的市场价为80美元，以100美元的价格购买1股是没有意义的，也没有投资者会行使这个权利。相反，如果股票上涨到120美元，高于施权价，期权将会给持有者带来20美元的利润，他可以在时间1以100美元价格购买1股股票，并立刻以120美元的价格卖出。这就是行使期权，即利用股票市场价和施权价之间的价差20美元，期权简单地施权。实际上，这是经常采用的方法，因为不需要股票换手。

因此，看涨期权的回报，即它在时间1的价值为随机变量

?20如果股价上涨C?1???

?0如果股价下跌而C?0?表示期权在时间0的价值，即今天购买者卖出期权的价格。

注1.1

乍看起来，看涨期权类似于远期合约多头，两者都包含在未来某个时间，以预先固定的价格购买一种资产。一个本质的区别是，远期合约多头头寸的持有者承担以固定价格购买资产的义务，而看涨期权的持有者有权利但没有义务这样做。另一个差别是，投资者需要花钱购买看涨期权，而在远期合约交易时不需要任何支付。

在可以利用期权的市场，可以投资由x股股票、y份债券、z份期权构成的资产组合

?x,y,z?，在时间0，该资产组合的价值为

V?0??xS?0??yA?0??zC?0?

在时间1，该资产组合的价值为

V?1??xS?1??yA?1??zC?1?

恰似包含远期合约投资组合的情况。假设1.1～1.5以及无套利原则可以扩展到包含股票、债券和期权的资产组合。

我们的任务是，在符合市场假设的情况下，特别地，在没有套利机会的条件下，计算看涨期权在时间0的价格C?0?。因为看涨期权的持有者有权利但没有义务，所以可以合理地认为C?0?为正；因为需要支付期权权费以获得权利。期权价格C?0?可以用如下两个步骤解出。

步骤1

构造x股股票、y份债券的投资，使得在时间1，不论股票价格上涨