2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算理解析

第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算 理

1．向量的有关概念

名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 定义 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作0 非零向量a的单位向量为±a |a|a＋b＝b＋a； 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律： (a＋b)＋c 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 ＝a＋(b＋c) a－b＝a＋(－b) (1)|λa|＝|λ||a|； (1)λ(μa)＝数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； 1

的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

3.共线向量定理

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

【知识拓展】

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向→→→——→→

量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋?＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

→1→→

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→

3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“3”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( 3 ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( 3 )

→→

(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( 3 ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )

1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；→→

③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是( ) A．① C．①③ 答案 A

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方→→

向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误．

B．③ D．①②

2

→

2．(教材改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于( ) →1→A．－BC＋BA

2→1→C.BC－BA

2答案 A 解析 如图，

→1→B．－BC－BA

2→1→D.BC＋BA

2

→→→→1→→1→CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝－BC＋BA.

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3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．

→→

4．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( ) A．λ＋μ＝2 C．λμ＝－1 答案 D

→→→→

解析 由AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得AB＝tAC， 所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，

??λ＝t，即可得?

??1＝tμ，

B．λ－μ＝1 D．λμ＝1

所以λμ＝1，故选D.

→→→

5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________. 答案 2

解析 由向量加法的平行四边形法则， →→→得AB＋AD＝AC.

3

→→

又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO， →→→→→→

∴AB＋AD＝2AO.又AB＋AD＝λAO，∴λ＝2.

题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ C．③④ 答案 A

解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． →→→→→→

②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， →→→→→→则AB∥DC且|AB|＝|DC|，∴AB＝DC. ③正确．

∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．

4

B．①② D．②④